Δευτέρα, 31 Οκτωβρίου 2016

Ενότητα εφαρμογών

Πλέον, σύμφωνα με τα όσα έχουμε παρουσιάσει στις προηγούμενες αναρτήσεις, είμαστε σε θέση να προβούμε στους πρώτους στοιχειώδεις γεωδαιτικούς υπολογισμούς. Οι εφαρμογές που θα παρουσιάσουμε σε πρώτη φάση αφορούν:
  1. τη μετατροπή γεωδαιτικών συντεταγμένων σε καρτεσιανές και αντίστροφα 
  2. τον υπολογισμό τόξων σε παράλληλο και σε μεσημβρινό 
  3. το αντίστροφο πρόβλημα του υπολογισμού του γεωγραφικού πλάτους, δοθέντος ενός τόξου μεσημβρινού 
Θα παρουσιάζονται όλες οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται καθώς και οι διαδοχικοί υπολογισμοί αναλυτικά.

Μετατροπή συντεταγμένων

Διαθέτουμε τις γεωδαιτικές συντεταγμένες

φ=39° 42' 7.947525''
λ=28° 35' 15.62867''
h=500 m

οι οποίες αναφέρονται στο ελλειψοειδές GRS80. Επιθυμούμε να τις μετατρέψουμε σε γεωκεντρικές καρτεσιανές συντεταγμένες. Ως γνωστόν, οι εξισώσεις μέσω των οποίων μπορούμε να πραγματοποιήσουμε τη μετατροπή αυτή είναι οι παρακάτω

X=(N+h)cosφ cosλ
Υ=(N+h)cosφ cosλ
Z=[N(1-e2)+h]sinφ

με (Χ,Υ,Ζ) να αποτελούν τις γεωκεντρικές καρτεσιανές συντεταγμένες, (φ,λ,h) τις γεωδαιτικές συντεταγμένες ( πλάτος, μήκος, υψόμετρο ), e2 το τετράγωνο της πρώτης εκκεντρότητας του ελλειψοειδούς αναφοράς και την ακτίνα καμπυλότητας της πρώτης κάθετης τομής


όπου α ο μεγάλος ημιάξονας του ελλειψοειδούς αναφοράς.

Πρώτα, φροντίζουμε να μετατρέψουμε τις γεωδαιτικές συντεταγμένες σε δεκαδική μορφή

φδεκαδική=[φμοίρεςλεπτά/60+φδευτερόλεπτα/3600]

Η μετατροπή αυτή ισχύει τόσο για το γεωδαιτικό πλάτος, όσο και για το μήκος. Δεν χρειάζεται κάποια μετατροπή για το γεωμετρικό υψόμετρο. Συνεπώς, προκύπτει

φ=39° 42' 7.947525'' → 39.70220765°
λ=28° 35' 15.62867'' → 28.58767463°

Ο πίνακας (1.1) παρουσιάζει όλους τους διαδοχικούς υπολογισμούς που πραγματοποιούνται σύμφωνα με τις παραπάνω εξισώσεις ώστε να καταλήξουμε στο τρισδιάστατο γεωκεντρικό καρτεσιανό διάνυσμα (Χ,Υ,Ζ). Οι παράμετροι του ελλειψοειδούς αναφέρονται στο GRS80.


Φροντίζουμε πάντα να είμαστε συνεπείς ως προς τις μονάδες μέτρησης των ποσοτήτων που εμπλέκονται.

Πίνακας (1.1): Μετατροπή από (φ,λ,h) σε (Χ,Υ,Ζ).


Αντίστροφος μετασχηματισμός

Στην εντελώς αντίστροφη διαδικασία, επιθυμούμε να μεταβούμε στο γεωδαιτικό σύστημα συντεταγμένων (φ,λ,h) διαθέτοντας τις γεωκεντρικές καρτεσιανές συντεταγμένες (X,Y,Z). Είναι προφανές πως η μετάβαση αυτή πραγματοποιείται εάν επιχείρησουμε να επιλύσουμε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τις άγνωστες τιμές (φ,λ,h). Η διαδικασία αυτή, ωστόσο, εμπεριέχει κάποια παραπάνω υπολογιστική απαίτητηση από τη συνήθη επίλυση εξισώσεων. Εάν παρατηρήσουμε, η επίλυση ως προς τη συντεταγμένη λ οδηγεί στην εξίσωση

λ=arctan(y/x)

όπου ο περαιτέρω προσδιορισμός της τιμής λ απαιτεί διερεύνυση τεταρτημορίου, όπως περιγράφεται στην ανάρτηση Τα θεμελιώδη προβλήματα της τοπογραφίας, χρησιμοποιώντας ως μονάδες μέτρησης τις μοίρες.

Ο υπολογισμός του πλάτους φ δεν μπορεί να επιτευχθεί σε ένα βήμα, όπως συμβαίνει με το μήκος λ. Επειδή δεν μπορούμε να προβούμε σε διαχωρισμό της μεταβλητής φ από τις υπόλοιπες μεταβλητές, οδηγούμαστε στο σχηματισμό της εξίσωσης


ή ισοδύναμα

φi+1=f(φi)

οπότε και υπολογίζουμε το πλάτος με τη βοήθεια επαναληπτικής διαδικασίας. Χρησιμοποιούμε ως αρχική προσεγγιστική τιμή π.χ. ( βλ. Φωτίου Α. 2007 ) την τιμή

όπου


την οποία χρησιμοποιούμε εκ νέου για τον υπολογισμό της νέας τιμής φ1. Τρεις με τέσσερις επαναλήψεις είναι αρκετές για τους συνήθεις υπολογισμούς.

Εναλλακτικά και ισοδύναμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του ύψους (Α. Fotiou 1998), η οποία οδηγεί στον υπολογισμό του πλάτους σε διαδοχικά στάδια, έναντι της επαναληπτικής διαδικασίας, με τη βοήθεια των παρακάτω εξισώσεων


Η μετατροπή πραγματοποιείται για το σημείο με συντ/ντες

X=-1248701.064 m
Y=-4819060.876 m
Z=3976062.597 m

για το ελλειψοειδές αναφοράς GRS80.

Πίνακας (1.2): Μετατροπή από (Χ,Υ,Ζ) σε (φ,λ,h).

Τέλος, με βάση την αντίστροφη μετατροπή που περιγράψαμε παραπάνω, μετατρέπουμε τις μοίρες από τη δεκαδική στην τελική τους μορφή

φ=38.80187074° → 38° 48' 6.735014''
λ=255.47317748°  255° 28' 23.438922"


Υπολογισμός τόξου σε παράλληλο κύκλο


Το μήκος τόξου παράλληλου κύκλου είναι ουσιαστικά το μήκος μεταξύ δύο σημείων που οριοθετείται από τις συντεταγμένες λ1 και λ2 πάνω στον κύκλο συγκεκριμένης ακτίνας r. Επομένως, το τόξο δύο σημείων με συντεταγμένες

λ1=48° και λ2=49°

και για πλάτος

φ=35°

στο ελλειψοειδές GRS80 είναι


όπου η ποσότητα Δλ μετατράπηκε σε rad για να μεταβούμε από γωνιακή ποσότητα σε μήκος.

Υπολογισμός τόξου μεσημβρινού

Το μήκος τόξου μεσημβρινού προκύπτει από την ανάπτυξη της εξίσωσης υπολογισμού για δύο σημεία με γεωδαιτικά πλάτης φ1 και φ2 σε σειρά. Αυτό συμβαίνει, διότι εάν μεταβούμε από τις στοιχειώδεις διαφορικές σχέσεις απειροστού τόξου στις ολοκληρωματικές, προκύπτει ελλειπτικό ολοκλήρωμα το οποίο δεν επιδέχεται κλειστή αναλυτική λύση. Έτσι, το μήκος τόξου μεσημβρινού προκύπτει ικανοποιητικά από την εξίσωση


με Δφ = φ21,
και Αi τους επιμέρους γεωμετρικούς συντελεστές που ορίζονται για το ελλειψοειδές που χρησιμοποιείται. Πρέπει να επισημάνουμε πως η ποσότητα Δφ στον πρώτο όρο είναι σε rad.

Συνεπώς, για δύο σημεία με πλάτη

φ1=34° και φ2=41°

στο ελλειψοειδές GRS80, το μήκος τόξου μεσημβρινού είναι ίσο με

Πίνακας (2.1): Μήκος τόξου μεσημβρινού για σημεία φ1=34° και φ2=41°.

Αντίστροφο πρόβλημα: υπολογισμός πλάτους δοθέντος ενός τόξου μεσημβρινού


Σε τελικό στάδιο, υπολογίζουμε το γεωδαιτικό πλάτος φ2 που ορίζεται από το πέρας ενός τόξου μεσημβρινού SΔφ με αρχή φ1. Πιο συγκεκριμένα, υπολογίζουμε πρώτα τη διαφορά Δφ, οπότε ισχύει

φ21+Δφ

Επειδή οι σχέσεις εμπλέκουν και πάλι ελλειπτικά ολοκληρώματα, ο υπολογισμός πραγματοποιείται με τη βοήθεια σειράς


Μάλιστα, επειδή η παράμετρος προς υπολογισμό Δφ υπάρχει και στα δύο μέλη της εξίσωσης, χρησιμοποιείται επαναληπτική διαδικασία. Χρησιμοποιούμε έναν αρχικό προσεγγιστικό όρο για την έναρξη των επαναλήψεων

Δφ(0)=SΔφ/(aA0)

οπότε

επομένως, διαθέτουμε όλους τους αναγκαίους όρους για τον υπολογισμό στο δεξί μέλος. Η νέα τιμή Δφ(1) που θα προκύψει θα δώσει μια νέα μέση τιμή φ(1) κοκ. Μπορούμε να καθορίσουμε ένα κριτήριο σύγκλισης για τις διαδοχικές τιμές Δφ(n) και Δφ(n+1) ώστε να αποφανθούμε για την ακρίβεια που θέλουμε με βάση κάποια επιλεγμένη τιμή ε


Εφόσον ικανοποιείται το κριτήριο σύγκλισης για την k επανάληψη, η τελική τιμή του πλάτους είναι

φ21+Δφ(k)

Θεωρώντας στο ελλειψοειδές Bessel το τόξο μεσημβρινού SΔφ = 843794.207 m και το πλάτος φ1= 36°, πραγματοποιούμε τους υπολογισμούς διαδοχικά. Κρίθηκε πως 4 επαναλήψεις είναι αρκετές, καθώς η επιμέρους διαφορά των Δφ που προκύπτει σε κάθε περίπτωση μειώνεται σε μεγάλο βαθμό. Όλοι οι υπολογισμοί παρουσιάζονται στον πίνακα (3.1).

Η τελική τιμή που προέκυψε είναι ίση με

Δφ(4)=7.600442306°

επομένως

φ21+Δφ(4)=43.60044231°

και σύμφωνα με την τελική μετατροπή

φ2=43.60044231° → 43° 36' 1.592302''

Πίνακας (3.1): Πλάτος φ2 για σημεία φ1=34° και τόξο SΔφ=843794.207 m.

Κείμενο: Τάσος Φάκας

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου