Κυριακή, 27 Μαρτίου 2016

Βασικές εξισώσεις ελλειψοειδούς

Σε όλες ανεξαιρέτως τις σύγχρονες γεωδαιτικές εφαρμογές χρησιμοποιείται ως επιφάνεια αναφοράς ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Αρχικά, επιφάνεια αναφοράς αποτέλεσε η σφαίρα, προφανώς λόγω της μαθηματικής απλότητας που τη διακρίνει, μα και εξαιτίας της αδυναμίας των γεωδαιτών να αντιληφθούν τη Γη ως ένα πολυπλοκότερο γεωμετρικό σώμα. Αυτή η απλουστευμένη θεώρηση ανατράπηκε στα μέσα του 17ου αιώνα με το έργο του Isaac Newton, ο οποίος κατέληξε στο συμπέρασμα του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής θεωρώντας τη Γη ως μια ομοιογενή ρευστή μάζα, η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν άξονά της και υπόκειται μόνο στην επίδραση του βάρους της και της φυγόκεντρης δύναμης. Μάλιστα, η ιδέα του Newton αμφισβητήθηκε από την τότε επιστημονική κοινότητα, (η οικογένεια των Cassini υποστήριζε την αντίθετη άποψη ενός ελλειψοειδούς πεπλατυσμένου στον Ισημερινό), με αποτέλεσμα η Γαλλική Ακαδημία του 18ου αιώνα να αποφασίσει την οργάνωση δύο ξεχωριστών γεωδαιτικών αποστολών, κατά τις οποίες θα πραγματοποιούνταν μετρήσεις προκειμένου να αποσαφηνιστεί ποια επιστημονική υπόθεση ήταν η ορθή. Οι αποστολές αυτές δικαίωσαν τη θεωρία του Newton κι έκτοτε το πεπλατυσμένο στους πόλους ελλειψοειδές αποτελεί την καθολική μαθηματική επιφάνεια αναφοράς για τις γεωδαιτικές, τις γεωφυσικές και τις διαστημικές εφαρμογές.


Έχει σημασία, επομένως, να μελετήσουμε τη βασική γεωμετρία που διέπει ένα ΕΕΠ, καθώς όλες οι σύγχρονες γεωδαιτικές αποστολές βασίζονται σε αυτήν. Θα προσπαθήσουμε σε αρχικό στάδιο να μην εμβαθύνουμε πολύ, παρά μόνο στο βαθμό που οι βασικοί γεωδαιτικοί υπολογισμοί γίνονται κατανοητοί. 

εικόνα 1, Ο Sir Isaac Newton ήταν ο πρώτος που συνέλαβε την έννοια ενός ελλειψοειδούς πεπλατυσμένου στους πόλους ( στην 2η εικόνα, το ελλειψοειδές από δεξιά ) σε αντίθεση με το πεπλατυσμένο ελλειψοειδές στον Ισημερινό που υποστηρίζονταν ως σχήμα της Γης από τους Jean-Dominique Cassini και Jacques Cassini.


Πώς ορίζεται μαθηματικά; 

Ως ΕΕΠ ορίζεται η μαθηματική επιφάνεια που προκύπτει από μία έλλειψη περιστρεφόμενη γύρω από το μικρό της ημιάξονα. Επομένως, η τομή που προκύπτει από το ελλειψοειδές με ένα οποιοδήποτε επίπεδο που διέρχεται από το μικρό άξονα είναι έλλειψη. Το ΕΕΠ ονομάζεται και αλλιώς διαξονικό ελλειψοειδές, καθώς μπορεί να περιγραφεί μόνο από δύο βασικούς ημιάξονες (a, b). Στην περίπτωση που περιγράφονταν από τρεις χαρακτηριστικούς ημιάξονες, θα ονομαζόταν τριαξονικό ελλειψοειδές, ωστόσο η μαθηματική πολυπλοκότητα αυτού του στερεού δεν θα προσέφερε οποιαδήποτε ουσιαστική συνεισφορά σε θέμα ακρίβειας στους γεωδαιτικούς υπολογισμούς. Η χρήση του διαξονικού ελλειψοειδούς ή ΕΕΠ αποτελεί ικανοποιητική παραδοχή με την οποία οι γεωδαιτικές εφαρμογές χαρακτηρίζονται από κάποια απλότητα αλλά και ακρίβεια. 

εικόνα 2, Τρισδιάστατη επεικόνιση ενός διαξονικού ελλειψοειδούς.

Εναλλακτικά, μπορούμε να ορίσουμε επιπρόσθετες γεωμετρικές ποσότητες οι οποίες να ορίζουν επαρκώς γεωμετρικά το ΕΕΠ. Τέτοιες είναι: 

  • το τετράγωνο της πρώτης εκκεντρότητας e2, όπου
  • η επιπλάτυνση f, όπου 
  • το τετράγωνο της δεύτερης εκκεντρότητας e’2, όπου
  • η παράμετρος η, όπου 
Εάν γνωρίζουμε ένα ζεύγος που απαρτίζεται από δύο οποιεσδήποτε εκ των παραπάνω παραμέτρων π.χ. το ζεύγος (a,f), μπορούμε να προσδιορίσουμε μοναδικά τις διαστάσεις και τη γεωμετρία του ΕΕΠ που επιθυμούμε. 

Θεωρώντας ένα τριαξονικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (Χ,Υ,Ζ) με αρχή το κέντρο του ΕΕΠ, η αναλυτική εξίσωση έχει τη μορφή
όπου είναι εμφανής η χρήση δύο ημιαξόνων (a, b) και όχι τριών. Πιο συγκεκριμένα στο χώρο, το επίπεδο ΧΥ ορίζεται έτσι ώστε να ταυτίζεται με το ισημερινό επίπεδο, ενώ ο άξονας Ζ ορίζεται έτσι ώστε να ταυτίζεται με τον άξονα της Γης (σε πρώτη προσέγγιση δεν θα επεκταθούμε σε μεγέθη που λαμβάνουν υπόψην τους τις περιοδικές μεταβολές που υφίσταται η κίνηση της Γης ως προς την τροχιά της, οπότε δεν είναι ανάγκη να προβούμε σε διαχωρισμό μέσου ισημερινού επιπέδου, μέσου άξονα της Γης κλπ ). 

Ορίζουμε ως μεσημβρινή έλλειψη αυτήν που προκύπτει από την τομή ενός επιπέδου που περιέχει τον άξονα Ζ με το ΕΕΠ. Η εξίσωση που την περιγράφει είναι της μορφής
η οποία προφανώς είναι αναλυτική εξίσωση έλλειψης, με τον άξονα k να λαμβάνει μια οποιαδήποτε τυχαία διεύθυνση πάνω στο ισημερινό επίπεδο.

εικόνα 3, Απεικόνιση μεσημβρινής έλλειψης κατά τυχαία διεύθυνση P με τα βασικά γεωμετρικά μεγέθη.
Περισσότερα χρήσιμα μεγέθη για τη μελέτη της γεωμετρίας ενός ΕΕΠ αποτελούν η γεωκεντρική γωνία ψ ή γεωκεντρικό πλάτος ενός σημείου του ελλειψοειδούς καθώς και το ανηγμένο πλάτος u ενός σημείου, τα οποία δεν θα μας απασχολήσουν περαιτέρω. 

Επιπρόσθετες γεωμετρικές ποσότητες του ελλειψοειδούς. 

Ονομάζουμε κάθετο επίπεδο κάθε επίπεδο το οποίο εμπεριέχει μία κάθετη στο ελλειψοειδές. Η δε τομή του καθέτου επιπέδου και του ελλειψοειδούς ονομάζεται κάθετη τομή. Η κάθετη τομή στη μεσημβρινή τομή ονομάζεται πρώτη κάθετη τομή. Η μεσημβρινή και η πρώτη κάθετη τομή ονομάζονται πρώτες κάθετες τομές και ορίζουν τις εξής ποσότητες οι οποίες είναι απαραίτητες, όπως είδαμε στην προηγούμενη ανάρτηση (Τα συστήματα αναφοράς στην γεωδαισία), για τον ορισμό του γεωδαιτικού συστήματος συντεταγμένων: 

  • η ακτίνα καμπυλότητας της πρώτης κάθετης τομής Ν, η οποία ορίζεται ως
  • η ακτίνα καμπυλότητας της μεσημβρινής τομής Μ, η οποία ορίζεται ως 
με φ το πλάτος του σημείου. 

εικόνα 4, Απεικόνιση μεσημβρινής έλλειψης κατά τυχαία διεύθυνση P με τις ακτίνες καμπυλότητας που ορίζονται.

Προφανώς, ισχύει πάντα η σχέση Μ ≤ Ν. 

Στην πράξη μπορούμε να οδηγηθούμε στη χρήση κάποιων εναλλακτικών αντιπροσωπευτικών ακτίνων καμπυλότητας, οι οποίες έχουν επιλεχθεί με βάση κάποια επιλεγμένα κριτήρια. Τέτοια είναι φερειπείν η μέση ακτίνα καμπυλότητας ή ακτίνα Gauss, η οποία δίνεται από την εξίσωση 
και αντιστοιχεί στην ακτίνα της εγγύτατης σφαίρας η οποία προσεγγίζει τοπικά το ελλειψοειδές σε ένα σημείο και αποτελεί τη μέση τιμή όλων των ακτίνων καμπυλότητας των κάθετων τομών στο τυχόν σημείο. 

Στοιχειώδης γεωμετρία του ελλειψοειδούς: υπολογισμός μηκών πάνω σε αυτό και αντίστροφο πρόβλημα. 

Αποτελεί σύνηθες πρόβλημα των γεωδαιτικών εφαρμογών ο υπολογισμός του μήκους τόξων πάνω στο ελλειψοειδές. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να διαχωρισθεί σε δύο βασικές κατηγορίες τόξων: στα τόξα μεσημβρινών και στα τόξα παράλληλων κύκλων. Τα τόξα των μεσημβρινών ορίζονται πάνω στα μεσημβρινά επίπεδα, ενώ τα τόξα των παράλληλων κύκλων ορίζονται πάνω στα κάθετα επίπεδα του μικρού ημιάξονα του ελλειψοειδούς. 

Προκειμένου να καταλήξουμε στις εξισώσεις υπολογισμού ενός τόξου, περιοριζόμαστε σε μια απειροστή επιφάνεια δA στο ελλειψοειδές, πάνω στην οποία οι καμπύλες ποσότητες εκφυλίζονται σε ευθύγραμμα τμήματα και συνεπώς ισχύει η επίπεδη γεωμετρία. 


εικόνα 5, Επίπεδη γεωμετρία σε απειροστή επιφάνεια του ελλειψοειδούς.
Εάν θεωρήσουμε ένα απειροστά μικρό τόξο δS μεταξύ δύο σημείων το οποίο έχει αζιμούθια γωνία α, δηλαδή τη γωνία κατά την ανάδρομη ( ωρολογιακή ) φορά που απαιτείται να στραφεί η διεύθυνση του Βορρά μέχρι να συμπέσει στο τόξο δS, τότε προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις 
όπου r η ακτίνα του παράλληλου κύκλου στο νοτιότερο σημείο του τόξου. Είναι δυνατή δηλαδή η ανάλυση του απειροστού τόξου σε δύο απειροστές συνιστώσες κατά μεσημβρινό και κατά παράλληλο. Με βάση αυτήν την ανάλυση σε συνιστώσες καθίσταται δυνατός ο υπολογισμός του ολικού απειροστού τόξου
Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να επεκταθούν πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, εάν κατορθώσουμε να υπολογίσουμε τα τόξα που προκύπτουν όχι για μια απειροστή επιφάνεια, μα για μια μεγαλύτερη και διακριτή. 

Τόξα παράλληλων κύκλων 

Ο υπολογισμός του τόξου παράλληλου κύκλου είναι ευκολότερος, εφόσον η μεταβολή που υφίσταται αυτό πάνω στον παράλληλο είναι σταθερή. Έτσι, οδηγούμαστε σε υπολογισμό τόξου ενός κύκλου μεταξύ δύο σημείων

Τόξα μεσημβρινών 

Ο υπολογισμός μήκους ενός τόξου μεσημβρινού απαιτεί μια περισσότερο πολύπλοκη διαδικασία. Είδαμε πως για την απειροστή συνιστώσα κατά μεσημβρινό ισχύει η διαφορική εξίσωση
επομένως, για να προβούμε στον υπολογισμό ενός τόξου μεταξύ δύο σημείων με πλάτη φ1 και φ2 απαιτείται ο υπολογισμός του ολοκληρώματος
Είναι σαφές πως η παραπάνω σχέση αποτελεί ελλειπτικό ολοκλήρωμα, καθώς δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε κάποια συγκεκριμένη αρχική συνάρτηση και να καταλήξουμε σε κάποιο αποτέλεσμα μέσω κλειστής αναλυτικής λύσης. Έτσι, η επίλυση μπορεί να προσδιορισθεί μόνο με τη βοήθεια σειράς απείρων όρων. 

Θεωρώντας πως το πρώτο σημείο βρίσκεται πάνω στον ισημερινό, άρα φ1 = 0, και το δεύτερο σημείο βρίσκεται πάνω σε παράλληλο κύκλο που απέχει πλάτος φ από αυτόν, το μήκος Sφ υπολογίζεται με τη βοήθεια της σειράς 
όπου το φ του πρώτου όρου είναι σε rad και οι επιμέρους συντελεστές Ai δίνονται από τις σχέσεις 

Ο τελευταίος συντελεστής A8 μπορεί να αγνοηθεί εφόσον η συνεισφορά του είναι κάτω του χιλιοστού και κατ’επέκταση η σχέση καταλήγει να είναι 

Πολλές φορές επιθυμούμε να αξιοποιήσουμε τη γνώση μας ενός τόξου Sφ με δεδομένο το πρώτο σημείο επί του ισημερινού και να υπολογίσουμε το δεύτερο σημείο που οριοθετεί το συγκεκριμένο τόξο. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να επιτευχθεί σύμφωνα με τη μέθοδο Newton Rampson ή με μια απλή επαναληπτική διαδικασία. Πιο συγκεκριμένα, μετασχηματίζουμε την εξίσωση του τόξου ώστε να εκφράσουμε το πλάτος φ συναρτήσει των υπολοίπων συντελεστών 
οπότε η εξίσωση είναι της μορφής φ= f(φ). Ο πρώτος όρος Sφ/(aA0) αποτελεί σταθερή παράμετρο για οποιαδήποτε τιμή του πλάτους φ, συνεπώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αρχική προσεγγιστική τιμή για την έναρξη της επαναληπτικής διαδικασίας. Τον τοποθετούμε στο δεξί μέλος της εξίσωσης και υπολογίζουμε τη νέα τιμή φ’, την οποία χρησιμοποιούμε εκ νέου ως αρχική τιμή. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται ωσότου οι διαδοχικές τιμές που προκύπτουν για το πλάτος φ να διαφέρουν ικανοποιητικά λίγο. Μπορούμε κάλλιστα να ορίσουμε και ένα κριτήριο σύγκλισης.

Ο υπολογιστικός αλγόριθμος που παρουσιάστηκε παραπάνω μπορεί να επεκταθεί για δύο οποιαδήποτε σημεία πάνω σε κάποιο μεσημβρινό τόξο, δίχως να είναι απαραίτητο το τόξο να αρχίζει από τον ισημερινό. Τότε, το μήκος υπολογίζεται ως διαφορά των δύο τόξων που ορίζονται για κάθε σημείο από τον ισημερινό, δηλαδή 
οπότε με τη βοήθεια τριγωνομετρικών σχέσεων, καταλήγουμε στην εξίσωση 
ή εναλλακτικά 
όπου
Το αντίστροφο πρόβλημα υπολογίζεται ακριβώς όπως αναφέραμε παραπάνω με τη βοήθεια υπολογιστικής διαδικασίας. Μετασχηματίζουμε την εξίσωση του μήκους στη μορφή
και χρησιμοποιούμε τον πρώτο όρο ως προσεγγιστική τιμή Δφ0. Υπολογίζουμε τη νέα τιμή
και αντικαθιστούμε στο δεξί μέλος της εξίσωσης ώστε να υπολογιστούν οι νέες τιμές
οπότε συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Το τελικό πλάτος του σημείου προκύπτει από την τελική τιμή ως

Ποιο το βέλτιστο ΕΕΠ – σχέση με την πραγματική Γη. 

Η ανάγκη χρήσης μιας επιφάνειας αναφοράς είναι πασιφανής, σύμφωνα με τα όσα αναφέραμε στις προηγούμενες αναρτήσεις περί συστημάτων αναφοράς. Κύριο αντικείμενο της Γεωδαισίας αποτελεί ο προσδιορισμός του σχήματος της Γης και ο εντοπισμός της θέσης ενός σημείου πάνω σε αυτή με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων, όπως επισημάναμε στον ορισμό της 1ης ανάρτησης. Η μεθοδολογία που αναπτύσσεται απαιτεί τη χρήση ενός συστήματος αναφοράς, την έννοια του οποίου μελετήσαμε στοιχειωδώς μαθηματικά. Δεδομένης της αντίληψής μας του τρισδιάστατου χώρου, επιβάλλεται μια επιφάνεια που να οδηγεί σε αξιόπιστο υπολογισμό της θέσης ενός σημείου με τη βοήθεια τριών συντεταγμένων του χώρου. Η χρήση ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής εξυπηρετεί ακριβώς αυτόν το σκοπό. Εξυπηρετεί τόσο τον προσδιορισμό στο επίπεδο, όσο και στον κατακόρυφο προσδιορισμό θέσης. Παρόλο που είναι δυνατός ο υπολογισμός αυτός κατευθείαν στο τρισδιάστατο χώρο, ενδείκνυται ο διαχωρισμός της όλης διαδικασίας σε επιμέρους προσδιορισμό της οριζόντιας θέσης και της κατακόρυφης. 

Ο διαχωρισμός αυτός πηγάζει καθαρά από τη δυσκολία να προσδιορίσουμε το σχήμα της Γης καθολικά, εξαιτίας της πολυπλοκότητας των διεργασιών και των φαινομένων που τροποποιούν κάθε στιγμή το σχήμα της. Η Γη δεν αποτελεί ένα στατικό σώμα, μα ένα φυσικό δυναμικό σύστημα το οποίο μεταβάλλεται σε μόνιμη βάση χωρικά και χρονικά. Μέχρι τώρα αναφέραμε το ΕΕΠ ως επιφάνεια αναφοράς, ωστόσο δεν απαντήσαμε στο εύλογο ερώτημα κατά πόσο αυτό αποτυπώνει ικανοποιητικά το γήινο σώμα. 

Ισοδύναμα, θα μπορούσαμε να αναρωτηθούμε εάν ένα και μόνο ΕΕΠ είναι αρκετό για να περιγράψει παγκόσμια τις γήινες μάζες. Δυστυχώς, το ΕΕΠ είναι πολύ ομαλοποιημένη μαθηματική επιφάνεια συγκριτικά με τη Γη, η οποία εμφανίζει ακανόνιστα εξογκώματα και ορύγματα σε όλη την έκτασή της. Οι γεωδαίτες το αντιλήφθηκαν αυτό και, προκειμένου να αποτυπώσουν ικανοποιητικά την επιφάνεια σε κάθε περίπτωση τοπικών εφαρμογών, αξιοποίησαν τη χρήση διαφορετικών ελλειψοειδών, ως προς τις διαστάσεις τους και τη θέση τους στο χώρο, με αποτέλεσμα να πραγματοποιούνται αναγωγές παρατηρήσεων σε διαφορετικό ελλειψοειδές π.χ. στη Βόρεια Αμερική απ’ότι στην Ευρώπη. Και πάλι, όμως, η εποχή των διαστημικών αποστολών του 20ου αιώνα και του GPS οδήγησε αναπόφευκτα στην ανάγκη χρήσης ενός ενιαίου ελλειψοειδούς για παγκόσμια χρήση. 

Είναι φανερό, λοιπόν, πως το ΕΕΠ δεν αποτελεί απόλυτα πιστή περιγραφή της Γης, μα την προσομοιάζει μόνο σε κάποιο περιορισμένο βαθμό. Για αρκετά χρόνια η γεωδαιτική κοινότητα αρκούνταν στη χρήση ενός ΕΕΠ για να πραγματοποιήσει όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς, αναπτύσσοντας τα μαθηματικά εργαλεία που απαρτίζουν τον κλάδο της Γεωμετρικής ή Ελλειψοειδούς Γεωδαισίας. Η Γεωμετρική Γεωδαισία θεωρεί τη Γη ως ένα αμετάβλητο σώμα το οποίο μπορεί να αποδοθεί πιστά από ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής. 

Ωστόσο, με τα χρόνια οι νέες γεωδαιτικές μέθοδοι έτειναν σε μια απαιτητικότερη από άποψη ακρίβειας αναπαράσταση της γήινης επιφάνειας, η οποία θα εγκόλπωνε τα δυναμικά χαρακτηριστικά της. Έπειτα, όπως είδαμε, καθίσταται η ανάγκη σύνδεσης του ελλειψοειδούς που θα χρησιμοποιηθεί με τη Γη, με τρόπο όχι αυθαίρετο μα που να ανταποκρίνεται στις επιστημονικές επιταγές. Η απαίτηση αυτή ικανοποιήθηκε όταν η διάννοια του Carl Friedrich Gauss συνέλαβε το 1828 την έννοια της μαθηματικής επιφάνειας που αργότερα, το 1873, θα ονομαστεί από τον Johann Benedict Listing ως γεωειδές. Ο Gauss ήταν από τους πρώτους που προσπάθησε να αντιληφθεί τη μαθηματική επιφάνεια της Γης λαμβάνοντας υπόψη το δυναμικό της χαρακτήρα. Όρισε ως γεωειδές την ισοδυναμική επιφάνεια που συμπίπτει σε πρώτη φάση με την επιφάνεια της θάλασσας, θεωρώντας ως ισοδυναμική επιφάνεια την επιφάνεια ισορροπίας επί της οποίας το δυναμικό της βαρύτητας παραμένει σταθερό. Ο ορισμός αυτός οδήγησε στη μελέτη της συμπεριφοράς των θαλάσσιων μαζών η οποία με τη σειρά της οδήγησε στη μελέτη της βαρυτικής τους κατάστασης, δεδομένου πως οι θαλάσσες μπορούν να θεωρηθούν ως μια μεγάλη ρευστή μάζα που υπόκεινται, σε πρώτη προσέγγιση, μόνο στην επίδραση της βαρύτητας και της φυγόκεντρης δύναμης. Με την πάροδο του χρόνου η επιστημονική κοινότητα οδηγήθηκε σε νέους ορισμούς της έννοιας του γεωειδούς, λαμβάνοντας υπόψη όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που υπεισέρχονται για τον ορθό και αξιόπιστο προσδιορισμό του ( παλίρροιες κλπ ). 

Η ιδιοφυής αυτή σύλληψη του Gauss οδήγησε στην επέκταση της θεώρησης της Γης από στατικό σε δυναμικό σώμα, εισάγοντας με αυτόν τον τρόπο στις μελέτες του σχήματός της τη βαρυτική κατάσταση που τη διέπει. Τότε, γεννήθηκε ένας νέος κλάδος, αυτός της Φυσικής Γεωδαισίας, ο οποίος ασχολείται με τον προσδιορισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας καθώς και των μεγεθών που εκφράζουν τη διαφορά του εξιδανικευμένου μοντέλου από το πραγματικό. Έτσι, κατέστη εφικτή η σύνδεση της απλουστευμένης έννοιας της Γης, όπως εκφράζεται μέσω του ΕΕΠ, με την πραγματική της κατάσταση, όπως αυτή αποτυπώνεται μέσω της έννοιας του γεωειδούς. Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιούνται και οι δύο επιφάνειες αναφοράς, αλλά δεν είναι και πάλι αρκετές για να οδηγηθούμε σε ένα πλήρες μοντέλο περιγραφής του γήινου σχήματος, καθώς και το γεωειδές απεδείχθη με τη σειρά του ανεπαρκές να συμπεριλάβει όλες τις μεταβολές που υφίσταται η Γη. Επομένως, σε κάθε περίπτωση, χρησιμοποιούμε τις δύο επιφάνειες πάντα σε συνδυασμό με την πραγματική γήινη επιφάνεια, ώστε να προβαίνουμε σε συγκρίσεις και συσχετίσεις. Τα όσα αναφέραμε μέχρι τώρα αποτελούν θεμελιώδη εργαλεία στη Γεωδαισία, καθώς το ελλειψοειδές συνεισφέρει μοναδικά στον προσδιορισμό της «οριζόντιας» θέσης ενός σημείου στην επιφάνειά του και το γεωειδές στον προσδιορισμό της κατακόρυφης ή υψομετρικής του θέσης. Ο συνδυασμός αυτής της διπλής πληροφορίας οδηγεί στον ορισμό του γεωδαιτικού datum, το οποίο εκφράζει ουσιαστικά τη σχέση – θέση του χρησιμοποιούμενου ΕΕΠ με το γεωειδές, αν και βέβαια ο πλήρης ορισμός του είναι πιο σύνθετος. 


Όλα τα παραπάνω γεωμετρικά χαρακτηριστικά και οι υπολογισμοί που παρουσιάστηκαν πάνω στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής είναι ουσιώδεις για τις συνήθεις γεωδαιτικές εφαρμογές. Σε επόμενη ενότητα θα μελετήσουμε ένα απλό παράδειγμα υπολογισμού του μήκους τόξου, καθώς και το αντίστροφό του, ώστε να κατανοήσουμε επαρκώς τους στοιχειώδεις υπολογισμούς που είναι απαραίτητοι για ένα απλό γεωδαιτικό πρόβλημα. 



Πηγές: Συντεταγμένες και συστήματα αναφοράς, Δερμάνης Α.
Γεωμετρική γεωδαισία, Φωτίου Α.
Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας της Γης, Αραμπέλος Δ. , Τζιαβός Η.

Κείμενο: Τάσος Φάκας
Επιμέλεια: Βαγγέλης Φινδανής

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου