Σάββατο, 6 Φεβρουαρίου 2016

Γιατί το παραγοντικό του 0 μας κάνει 1;

Σε αυτή την σύντομη ανάρτηση θα ασχοληθούμε με την έννοια του παραγοντικού. Συγκεκριμένα, θα αναλύσουμε ένα φαινομενικό παράδοξο που προκύπτει πολλές φορές κατά την χρήση του παραγοντικού. Το παράδοξο αυτό είναι η σχέση 0!=1. Γιατί όμως η εξίσωση αυτή είναι περίεργη;

Πριν απαντήσουμε στην παραπάνω ερώτηση πρέπει να εξηγήσουμε τι είναι το παραγοντικό. Μπορούμε να πούμε πως παραγοντικό είναι ένας τελεστής ο οποίος εφαρμόζεται πάνω σε φυσικούς αριθμούς. Αν με n συμβολίσουμε ένα φυσικό αριθμό, τότε το n! είναι το παραγοντικό του n. Μπορούμε να γράψουμε την σχέση
Παραδείγματος χάριν, για n=3 ισχύει
Δηλαδή το παραγοντικό του 3 είναι το 6. Παρατηρούμε πως ο υπολογισμός του παραγοντικού δεν είναι δύσκολος. Ας δούμε όμως κάποιες πιο περίεργες περιπτώσεις. Ποια είναι τα παραγοντικά των αριθμών 1 και 2;

Για n=1 έχουμε
ενώ για n=2 ισχύει
Οπότε το παραγοντικό του αριθμού 1 είναι το ίδιο το 1 και το παραγοντικό του αριθμού 2 είναι το ίδιο το 2.

Όμως είπαμε πως το n είναι φυσικός αριθμός και ως εκ τούτου μπορεί να πάρει και μηδενική τιμή. Ποιο όμως είναι το παραγοντικό του μηδενός; Όπως είδαμε παραπάνω
Το περίεργο αυτής της σχέσης προκύπτει από την εξίσωση (1). Παρατηρούμε πως το γινόμενο ξεκινάει από το 1 και συνεχίζει μέχρι το n. To 0 όμως είναι πριν το 1 με αποτέλεσμα να μην μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση (1).

Πως εξηγείται λοιπόν πως το 0!=1; Αν αναδιατάξουμε την σχέση (1) έχουμε
Το αριστερό μέλος της παραπάνω σχέσης είναι το παραγοντικό του (n-1). Έτσι ισχύει
Ας τεστάρουμε την σχέση (2). Θέτοντας n=4 στην παραπάνω σχέση προκύπτει
Πράγματι, όπως είδαμε και παραπάνω, το παραγοντικό του 3 είναι το 6. Ας δοκιμάσουμε να θέσουμε n=1 στην σχέση (2). Τότε έχουμε
Συνεπώς, αποδείξαμε γιατί το παραγοντικό του 0 είναι ίσο με 1.

1 σχόλιο: