Τετάρτη, 25 Νοεμβρίου 2015

Τα συστήματα αναφοράς στην γεωδαισία (μέρος 2)

Μελετήσαμε στο 1ο μέρος τον τρόπο με τον οποίον ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς, από μαθηματική σκοπιά. Προσπαθήσαμε, δε, να εξετάσουμε με όσο το δυνατόν λιγότερα μαθηματικά τον τρόπο που προσδιορίζονται οι θέσεις σημείων σε αυτά, καθώς και πώς είναι δυνατός ο μετασχηματισμός από το ένα σύστημα αναφοράς σε ένα άλλο.

Τα όσα συστήματα χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα στα παραδείγματά μας είναι καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων. Χαρακτηριστικό αυτών είναι ένα αυθαίρετο σημείο αρχής και ένα σύνολο χαρακτηριστικών αξόνων κάθετων μεταξύ τους, οι οποίοι να ορίζουν το χώρο (Χ, Υ στο επίπεδο και Χ, Υ, Ζ στο τρισδιάστατο χώρο). Είδαμε, ωστόσο, πως ορίζονται και καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων. Χωρίς να επεκταθούμε σε πολύ μεγάλο βαθμό στο χώρο των μαθηματικών, αρκούμαστε να πούμε πώς προκύπτουν οι συντεταγμένες σε αυτά. Είπαμε πως οι καμπυλόγραμμες συντεταγμένες προκύπτουν εάν για ένα σημείο στο n χώρο, ο οποίος περιγράφεται από n πραγματικούς αριθμούς q1(P), q2(P), …, qn(P), κρατήσουμε τις n-1 συντεταγμένες σταθερές και μεταβάλλουμε μόνο μία για όλες τις δυνατές πραγματικές τιμές που έχει. Στο τρισδιάστατο χώρο το οποιοδήποτε σημείο περιγράφεται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες


όπου q1, q2, q3 είναι οι καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Με άλλα λόγια, στην παραπάνω εξίσωση θεωρούμε τη σύνδεση των καρτεσιανών με τις αντίστοιχες καμπυλόγραμμες, μέσω συγκεκριμένων συναρτήσεων. Εάν θεωρήσουμε την καρτεσιανή βάση αναφοράς e0=(e10,e20,e30), η εισαγωγή της τοπικής βάσης e=(e1,e2,e3) πραγματοποιείται ως εξής

Εφόσον ισχύει
τότε για κάθε διάνυσμα της τοπικής βάσης έπεται πως
Συνεπώς, για την τοπική βάση ισχύει

όπου ο πίνακας



ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας και είναι ο πίνακας μετατροπής της καρτεσιανής βάσης σε τοπική στην περίπτωση των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. Με άλλα λόγια ο Ιακωβιανός πίνακας εκφράζει τη συμπεριφορά των διανυσμάτων βάσης σε στοιχειώδεις ποσότητες κατά τη μεταφορά τους από την καρτεσιανή στην τοπική.

Η σημασία του J είναι θεμελιώδης στα καμπυλόγραμμα συστήματα, διότι με τη βοήθειά του είναι εφικτός ο μετασχηματισμός ενός κεντρικού συστήματος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων σε μια τοπική βάση καρτεσιανών συντεταγμένων. Πρακτικά, μπορούμε να το αντιληφθούμε αυτό εάν θεωρήσουμε το σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για τη γήινη σφαίρα και θέλουμε να περιοριστούμε σε ένα τοπικό σύστημα, το οποίο να καλύπτει μια μικρή συγκεκριμένη περιοχή της επιφάνειάς της. Η χρήση ενός επίπεδου καρτεσιανού συστήματος είναι, προφανώς, πολύ πιο απλή και εύκολη σε σύγκριση με αυτή ενός συστήματος καμπυλόγραμμων συντεταγμένων.

Τα κυριότερα συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε είναι στον τρισδιάστατο χώρο τρία.

Κυλινδρικές συντεταγμένες

Οι κυλινδρικές συντεταγμένες περιγράφονται ως

η δε σύνδεση με τις καρτεσιανές συντεταγμένες είναι

Είναι αυτονόητο πως η θέση ενός σημείου προσδιορίζεται μέσω τριών γεωμετρικών μεγεθών: της απόστασης ρ, η οποία ορίζει ευθεία γραμμή παράλληλη στο επίπεδο του 1ου και 2ου καρτεσιανού άξονα, το σφαιρικό μήκος λ, το οποίο ορίζει κύκλο πάνω στο ίδιο επίπεδο και την καμπύλη z η οποία είναι παράλληλη στον 3ο άξονα. Τα μεγέθη αυτά ορίζουν τρεις αντίστοιχους γεωμετρικούς τόπους: η ακτίνα ρ ορίζει έναν κύλινδρο με άξονα τον 3ο καρτεσιανό άξονα, το σφαιρικό μήκος λ ορίζει επίπεδο το οποίο διέρχεται από τον 3ο καρτεσιανό άξονα και η συντεταγμένη z ορίζει επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο που σχηματίζουν ο 1ος και 2ος καρτεσιανός άξονας. Η θέση κάθε σημείου στο χώρο ορίζεται ως η τομή αυτών των τριών γεωμετρικών τόπων.

Σφαιρικές συντεταγμένες

Οι σφαιρικές συντεταγμένες περιγράφονται ως
Η δε σύνδεση με τις καρτεσιανές συντεταγμένες είναι
Συχνά, χρησιμοποιείται η γωνία φ αντί της θ, όπου φ=90-θ και ονομάζεται σφαιρικό πλάτος.

Η θέση ενός σημείου προέρχεται από την τομή τριών γεωμετρικών τόπων που ορίζουν τα παραπάνω μεγέθη. Η καμπύλη της συντεταγμένης r είναι μια ευθεία γραμμή που ορίζεται από την αρχή του συστήματος και το σημείο που ζητάμε να βρούμε. Η καμπύλη της συντεταγμένης φ είναι ένας κύκλος με κέντρο την αρχή του συστήματος και το σημείο που ζητούμε στην περιφέρειά του, ενώ κείται στο επίπεδο του ο 3ος καρτεσιανός άξονας. Τέλος, η καμπύλη της συντεταγμένης λ είναι ένας κύκλος που το σημείο προσδιορισμού κείται στην περιφέρειά του, το κέντρο του βρίσκεται πάνω στον 3ο καρτεσιανό άξονα και το επίπεδό του είναι παράλληλο σε αυτό του 1ου και 2ου άξονα καρτεσιανών συντεταγμένων.

Η τοπική βάση e=(e1,e2,e3) δομείται ως εξής: 

  • το διάνυσμα έχει ως φορέα την ευθεία που ορίζεται από το κέντρο του συστήματος και του σημείου προσδιορισμού, ενώ έχει φορά απομάκρυνσης από την αρχή του συστήματος 
  • το διάνυσμα κείται πάνω στο επίπεδο που ορίζεται από το σημείο προσδιορισμού και τον 3ο καρτεσιανό άξονα ( ~ προς Βορρά ) 
  • το διάνυσμα συμπληρώνει την τρισορθογώνια δεξιόστροφη τριάδα ( ~ προς Ανατολή ) 

Γεωδαιτικές συντεταγμένες

Το τρίτο σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων που χρησιμοποιείται στην πλειοψηφία των περιπτώσεων της Γεωμετρικής και Φυσικής Γεωδαισίας είναι οι γεωδαιτικές συντεταγμένες. Βασίζονται σε ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής που αποκαλούμε και ελλειψοειδές αναφοράς και το οποίο δημιουργείται εάν θεωρήσουμε μια έλλειψη περιγραφόμενη από το μεγάλο και μικρό ημιάξονα α και β και η οποία περιστρέφεται γύρω από τον ημιάξονα β. Κατ’ επέκταση, το ίδιο το ελλειψοειδές ορίζεται στο χώρο από το σημείο που βρίσκεται στο κέντρο του και από το ζεύγος (α, β) ή από έναν εκ των δύο ημιαξόνων και την εκκεντρότητας e, όπου
η οποία περιγράφει τη συσχέτιση μεταξύ των δύο γεωμετρικών μεγεθών.

Το σύνολο των παραμέτρων που περιγράφουν τη θέση ενός σημείου αποτελείται από 3 γεωμετρικά μεγέθη: το γεωδαιτικό μήκος λ, το γεωδατικό πλάτος φ και το γεωδαιτικό ύψος h. Οι γεωμετρικοί τόποι και οι σχέσεις που ορίζουν αυτές οι ποσότητες πάνω στο ελλειψοειδές είναι περισσότερο πολύπλοκες σε σύγκριση με τα δύο προηγούμενα συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων που είδαμε προηγουμένως, εξαιτίας του γεγονότος πως οι τόποι που ορίζονται δεν εμπεριέχουν αναγκαστικά και το κέντρο του ελλειψοειδούς. Αυτό μπορεί να προκύψει εάν θεωρήσουμε και τον τρόπο σύνδεσης με τις καρτεσιανές συντεταγμένες
όπου ορίζουμε ως 

την ακτίνα καμπυλότητας της μεσημβρινής έλλειψης στο σημείο PO, που είναι η προβολή του σημείου προσδιορισμού P πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς. Ουσιαστικά, αποτελεί την ακτίνα του καλύτερα προσαρμοσμένου κύκλου στο σημείο αυτό. Βλέπουμε πως στις εξισώσεις εισέρχεται ένα σύνολο γεωμετρικών μεγεθών τα οποία προσπαθούν να εκφράσουν την απόκλιση του ελλειψοειδούς από μια σφαίρα, επομένως, οι συντεταγμένες προσδιορίζονται περισσότερο πολύπλοκα διότι η επιφάνεια αναφοράς δεν είναι τόσο ομαλή, όπως είναι η σφαιρική.

Στο ελλειψοειδές αναφοράς ορίζεται πληθώρα ανάλογων γεωμετρικών μεγεθών, ωστόσο, σε αυτή την εισαγωγή μας αρκούμαστε να αναφερθούμε σε αυτά.

Ο τρόπος με τον οποίο ορίζονται τα διανύσματα της τοπικής βάσης στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς είναι όμοιος με αυτόν στις σφαιρικές συντεταγμένες, προσαρμοσμένος, προφανώς, στις γεωμετρικές ιδιαιτερότητες που προκύπτουν σε αυτή την περίπτωση. Έτσι, για ένα σημείο P που ορίζεται στο σύστημα αυτό το διάνυσμα e1 είναι εφαπτόμενο στον παράλληλο κύκλο που διέρχεται από το σημείο και έχει φορά προς την «ανατολή». Το διάνυσμα e2 είναι εφαπτόμενο στην τομή του μεσημβρινού επιπέδου με τη σφαιροειδή επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση h=hp και έχει φορά προς το «βορρά». Τέλος, το διάνυσμα e3 βρίσκεται στην κάθετη στο ελλειψοειδές ευθεία, διέρχεται από το σημείο P και έχει φορά προς το ζενίθ, δηλαδή φορά απομάκρυνσης από το ελλειψοειδές.

Σε κάθε περίπτωση, ισχύουν τα όσα αναφέραμε για τους επιμέρους μετασχηματισμούς συστημάτων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. Πρακτικά, μεγάλη ομάδα γεωδαιτικών και γεωφυσικών εφαρμογών μετασχηματίζει συντεταγμένες σημείων από το επίπεδο στη σφαίρα και στο ελλειψοειδές αναφοράς. Μοντέλα περιγραφής της γήινης βαρύτητας προσπαθούν να προσεγγίσουν την πραγματικότητα προσομοιάζοντας τη γήινη επιφάνεια με σφαίρα, οπότε και προσπαθούν να γενικεύσουν τα αποτελέσματά τους για ένα ελλειψοειδές αναφοράς. Δορυφορικές αποστολές λαμβάνουν μετρήσεις αναφερόμενες σε διαφορετικά ελλειψοειδή αναφοράς, οπότε και τις μετασχηματίζουμε σε μία κοινή επιφάνεια, ώστε να συσχετιστούν.

Παρόλη τη μεθοδολογία που αναπτύξαμε μέχρι εδώ και που αποδείξαμε την απαίτηση χρήσης του συστήματος αναφοράς για την περιγραφή του φυσικού χώρου, αυτό παραμένει αφηρημένη μαθηματική έννοια. Όλα τα συστήματα που αναφέραμε μέχρι τώρα αποτελούν καθαρά θεωρητικές κατασκευές. Μπορούμε να το διαπιστώσουμε εάν αναρωτηθούμε το εξής: πώς εκφράζεται φυσικά το σύστημα αναφοράς; Εάν θεωρήσουμε τη στιγμή αυτή το σημείο που στεκόμαστε με συντεταγμένες (-23408.124 m, 5239.423 m), ως προς ποια αρχή αναφέρεται και γιατί έχει επιλεχθεί αυτό το ζεύγος;

Η πρακτική εφαρμογή του συστήματος πραγματοποιείται μέσω ενός πλαισίου αναφοράς. Το πλαίσιο αναφοράς αποτελείται απο πραγματικά σημεία, συνήθως, πάνω στη γήινη επιφάνεια με καθορισμένες συντεταγμένες, οι οποίες εγκολπώνουν την υλοποίηση του συστήματος αναφοράς στο φυσικό χώρο. Οι συντεταγμένες μπορεί να έχουν οριστεί αυθαιρέτως, μπορεί και όχι. Σημασία έχει, ωστόσο, πως μέσω των σημείων ενός πλαισίου αναφοράς ξεκινάμε τις μετρήσεις για να προσδιορίσουμε συντεταγμένες σε άλλα σημεία στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς. Επομένως, ο σχεδιασμός ενός καινούργιου συστήματος αναφοράς λαμβάνει το στάδιο της μελέτης της υποψήφιας επιφάνειας αναφοράς, ώστε να οριστεί το μέγεθος και η θέση της για την καλύτερη δυνατή ακρίβεια που μπορεί να προσφέρει και η υλοποίησή της στον πραγματικό χώρο. Η υλοποίηση βασίζεται σε ένα σύνολο παραδοχών σταθερότητας για ορισμένα σημεία, οι οποίες είναι απαραίτητες για να μπορέσει το σύστημα να ορίσει μονοσήμαντα τα υπόλοιπα σημεία στη γήινη επιφάνεια. 

Φυσικά, η μελέτη και η υλοποίηση του συστήματος, καθώς και η συντήρησή του, δεν είναι καθόλου εύκολη διαδικασία, εξαιτίας του γεγονότος πως τα σημεία που ορίζονται ως σημεία αναφοράς και που απαρτίζουν το πλαίσιο υπόκεινται και τα ίδια στα φαινόμενα που λαμβάνουν χώρο στον υπόγειο και επίγειο χώρο, με αποτέλεσμα να καταπονούνται και να μετακινούνται, παραβιάζοντας τις αρχικές παραδοχές που είχαμε υποθέσει εξαρχής. Έτσι, προκύπτει η ανάγκη ειδικής παρακολούθησης των σημείων αυτών με συγκεκριμένους και ειδικούς τρόπους, ώστε να εξασφαλίζεται η όσο το δυνατόν λιγότερη καταπόνηση που υποφέρουν, μα και η μέγιστη ακρίβεια στον προσδιορισμό τους.

Όλες οι μαθηματικές έννοιες που αναφέραμε μέχρι τώρα συνιστούν μοναδικά εργαλεία για τον ορισμό και τη μελέτη ενός γεωδαιτικού datum, θεμελιώδη έννοια στις γεωδαιτικές εφαρμογές. Σε επόμενο στάδιο, θα μελετήσουμε πιο συγκεκριμένα τις επιφάνειες αναφοράς που χρησιμοποιούνται στη Γεωδαισία και πώς ορίζονται αυτές στον χώρο.

Πηγές: Συντεταγμένες και συστήματα αναφοράς, Δερμάνης Α.
           Γεωμετρική γεωδαισία, Φωτίου Α.
           Τοπογραφικά δίκτυα και υπολογισμοί, Δερμάνης Α. , Ρωσσικόπουλος Δ. , Φωτίου Α.

Κείμενο: Τάσος Φάκας
Επιμέλεια: Βαγγέλης Φινδανής

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου