Πέμπτη, 24 Δεκεμβρίου 2015

Το πρόβλημα της παροχής

Στην παρούσα ανάρτηση θα παρουσιάσουμε ένα κλασσικό πρόβλημα της υδραυλικής των κλειστών αγωγών. Συγκεκριμένα, θέλουμε να υπολογίσουμε την παροχή νερού που διαρρέει έναν κλειστό αγωγό (συνιστάται να δείτε εδώ πριν προχωρήσετε παρακάτω). Τα δεδομένα του προβλήματος μας είναι: η διαφορά ολικού φορτίου ΔΗ στα άκρα του αγωγού, η τραχύτητα e, το μήκος L και η διάμετρος D του αγωγού.

Σάββατο, 19 Δεκεμβρίου 2015

Προώθηση πυραύλου

Συνήθως σε εφαρμογές φυσικής συναντάμε σώματα τα οποία έχουν σταθερή μάζα. Σε αυτή την περίπτωση εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής χωρίς πολλές δυσκολίες. Τι γίνεται όμως αν εξετάζουμε ένα σύστημα μεταβλητής μάζας; Χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος είναι ένας πύραυλος ο οποίος κινείται στο διάστημα. Ο πύραυλος κινείται επειδή προωθεί προς τα πίσω τα προϊόντα της καύσης που συμβαίνουν στο εσωτερικό του με αποτέλεσμα τα προϊόντα να τον προωθούν προς τα μπρος. Παρακάτω εξετάσουμε με λεπτομέρεια ένα τέτοιο σύστημα.

Δευτέρα, 7 Δεκεμβρίου 2015

Υδροστατική πίεση ηλεκτρικά φορτισμένου ρευστού

Έχουμε ένα κλειστό δοχείο (σχήμα 1) το οποίο περιέχει ένα ασυμπίεστο ρευστό πυκνότητας ρ=1000 kg/m3. Η ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού είναι εκτεθειμένη σε πίεση ίση με p0=2500 Pa και το δοχείο έχει πυθμένα διαστάσεων 4x4 (m). Το μέγιστο βάθος του ρευστού είναι 5 m και συναντάται στην οριζόντια θέση x=0. Όμως το ρευστό είναι αρνητικά φορτισμένο και συγκεκριμένα 0.1 lt ρευστού έχει φορτίο -800 μC. Ποια είναι η δύναμη που ασκείται από το ρευστό στον πυθμένα της δεξαμενής αν στον χώρο της δεξαμενής υπάρχουν ένα ηλεκτρικό πεδίο έντασης E=100i+150j (N/C) και ένα βαρυτικό πεδίο έντασης g=-2j (m/s2);

Τετάρτη, 25 Νοεμβρίου 2015

Τα συστήματα αναφοράς στην γεωδαισία (μέρος 2)

Μελετήσαμε στο 1ο μέρος τον τρόπο με τον οποίον ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς, από μαθηματική σκοπιά. Προσπαθήσαμε, δε, να εξετάσουμε με όσο το δυνατόν λιγότερα μαθηματικά τον τρόπο που προσδιορίζονται οι θέσεις σημείων σε αυτά, καθώς και πώς είναι δυνατός ο μετασχηματισμός από το ένα σύστημα αναφοράς σε ένα άλλο.

Σάββατο, 7 Νοεμβρίου 2015

Αριθμητική παραγώγιση

Η χρήση των υπολογιστών στα μαθηματικά, μας έχει βοηθήσει να λύσουμε δύσκολα ολοκληρώματα καθώς και άλλα αναλυτικά προβλήματα. Μία ακόμη χρήση των υπολογιστών στα μαθηματικά είναι η εύρεση των τιμών της παραγώγου μίας συνάρτησης. Όπως είναι προφανές, η διαδικασία με την οποία επιτυγχάνεται αυτό ονομάζεται αριθμητική παραγώγιση. Παρακάτω θα δούμε την απλή λογική της αριθμητικής παραγώγισης, τα μειονεκτήματα της και τον αλγόριθμο που την υλοποιεί.

Κυριακή, 1 Νοεμβρίου 2015

Τα συστήματα αναφοράς στην γεωδαισία (μέρος 1)

Γεωδαισία αποκαλούμε γενικά την εφαρμοσμένη επιστήμη, η οποία εξετάζει την μορφή της Γης στο χώρο και στο χρόνο με τη βοήθεια παρατηρήσεων. Ο ορισμός αυτός, φυσικά, είναι υπεραπλουστευτικός, ωστόσο, είναι αρκετός για να κατανοήσει κανείς περί τίνος πρόκειται, εάν αναλογιστούμε την πορεία που έχει διέλθει ως σήμερα για να αποκρυσταλλωθεί ως ξεχωριστή επιστήμη. Ο Ηρόδοτος την κατονομάζει ως γεωμετρία, ενώ ο Αριστοτέλης φαίνεται να δίνει για πρώτη φορά την ονομασία της από το "γή καί δαίω" στο "Μετά τα Φυσικά" του. Σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια μετά, ο γεωδαίτης F.R. Helmert την ορίζει ως "την επιστήμη των μετρήσεων και απεικόνισης της γήινης επιφάνειας". Σήμερα, η Γεωδαισία ορίζεται ως:

Τετάρτη, 21 Οκτωβρίου 2015

Ένα διαστρικό ταξίδι

Φανταστείτε πως είμαστε στο μακρινό μέλλον και συγκεκριμένα στην εποχή που ο ήλιος μας πεθαίνει (5 δισεκατομμύρια χρόνια από τώρα). Τότε η ανθρωπότητα θα κληθεί να δημιουργήσει μία αποικία προκειμένου να επιβιώσει. Ας υποθέσουμε πως ο κοντινότερος κατοικήσιμος πλανήτης βρίσκεται στο σύστημα Α κενταύρου το οποίο απέχει από εμάς 4.4 έτη φωτός. Αυτό σημαίνει πως το φως χρειάζεται 4.4 γήινα χρόνια για να ταξιδέψει από το σύστημα Α κενταύρου στον πλανήτη μας.

Κυριακή, 27 Σεπτεμβρίου 2015

Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων

Δεν είναι λίγες οι φορές που οι επιστήμονες καλούνται να επιλύσουν πολυωνυμικές εξισώσεις. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις αυτών των εξισώσεων είναι η πρωτοβάθμια εξίσωση, η δευτεροβάθμια εξίσωση (τριώνυμο) και η κυβική εξίσωση. Στην παρακάτω ανάλυση θα δούμε πως επιλύονται αυτές οι εξισώσεις.

Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2015

Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος GPS

Το Global Positioning System (GPS) είναι ένα δορυφορικό σύστημα το οποίο μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε την θέση μας πάνω στην γήινη επιφάνεια. Υπάρχουν πολλοί μέθοδοι για να προσδιορίσει κάποιος την θέση του με GPS. Στην παρούσα ανάρτηση θα μας απασχολήσει ο απόλυτος προσδιορισμός θέσης σε πραγματικό χρόνο.

Κυριακή, 20 Σεπτεμβρίου 2015

Διαχρονική μελέτη των μικρομετακινήσεων του στερεού φλοιού της Γης μέσω μετρήσεων GPS σε γεωδαιτικά δίκτυα του Νομού Θεσσαλονίκης

Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε από τις προπτυχιακές φοιτήτριες Ουρανία Ν. Αλτιπαρμάκη, Κυριακή Κ. Στεπάνη και Ιωάννα Ε. Χατζοπούλου στον Τομέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας του Τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αντικείμενο της ήταν η διαχρονική μελέτη των μικρομετακινήσεων του στερεού φλοιού της Γης σε γεωδαιτικά δίκτυα του Νομού Θεσσαλονίκης. Συγκεκριμένα μελετήθηκαν οι περιοχές των λιμνών Βόλβης - Αγίου Βασιλείου και του ρήγματος του Ανθεμούντα. Οι περιοχές παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον από γεωμορφολογική και τεκτονική άποψη, καθώς έχουν εντοπισθεί και χαρτογραφηθεί σε αυτές πολλά ενεργά ρήγματα. Για το λόγο αυτό επιστήμονες πραγματοποιούν τα τελευταία χρόνια πολλές μελέτες και έρευνες σχετικά με τη συμπεριφορά του γήινου φλοιού στις περιοχές που προαναφέρθηκαν.

Κυριακή, 6 Σεπτεμβρίου 2015

Υπολογισμός όγκου λίμνης

Στην φύση οι επιφάνειες σπάνια δίνονται από συναρτήσεις αλλά ακόμη και να δίνονται χαρακτηρίζονται από μη γραμμικές συναρτήσεις. Όμως πολλά από τα προβλήματα του μηχανικού απαιτούν ολοκλήρωση αυτών των συναρτήσεων. Μπορούμε να αναφέρουμε δύο χαρακτηριστικά προβλήματα: τον υπολογισμό του όγκου νερού μίας λίμνης και τον υπολογισμό του όγκου χώματος. Το πρόβλημα που θα μας απασχολήσει είναι η "ολοκλήρωση" του πυθμένα μίας λίμνης ώστε να προκύψει ο όγκος νερού.

Παρασκευή, 28 Αυγούστου 2015

Βελτιστοποίηση συστήματος αγωγού και αντλίας

Μεγάλο μέρος της ενέργειας που καταναλώνεται παγκοσμίως οφείλεται στην χρήση κινητήρων. Επομένως, οι μηχανικοί πρέπει με κάποιο τρόπο να ελαχιστοποιήσουν την δαπάνη ενέργειας και συνεπώς το ανάλογο κόστος. Ένας συγκεκριμένος τύπος κινητήρων είναι, ως γνωστόν, οι αντλίες οι οποίες επηρεάζουν άμεσα την διάμετρο των αγωγών του δικτύου. Στην παρακάτω ανάλυση θα δούμε ποια είναι η λογική πίσω από την βελτιστοποίηση ενός συστήματος αγωγού και αντλίας.

Τετάρτη, 26 Αυγούστου 2015

Βγήκαν οι βάσεις!

Πριν λίγο ανακοινώθηκαν τα αποτελέσματα των πανελλαδικών εξετάσεων. Με αφορμή αυτό το γεγονός θέλω να γράψω αυτή την ανάρτηση για να όλα τα παιδιά που δώσανε φέτος πανελλήνιες ασχέτως αν πέρασαν στην σχολή της αρεσκείας τους ή σε κάποια άλλη τους επιλογή. Δεν είμαι κάποιος ειδικός ή εκπαιδευτικός όμως ήμουν και εγώ στην θέση αυτών των παιδιών πριν πέντε χρόνια και έτσι θα ήθελα να τους παρουσιάσω κάποια προσωπικά μου συμπεράσματα.

Τρίτη, 25 Αυγούστου 2015

Προσομοίωση αποσβενόμενης ταλάντωσης

Στην ανάρτηση Δημιουργία γραφημάτων αποσβενόμενων ταλαντώσεων με την βοήθεια H/Y αναλύσαμε τις εξισώσεις που διέπουν τις αποσβενόμενες ταλαντώσεις και χρησιμοποιώντας το excel δημιουργήσαμε ορισμένα γραφήματα. Τα γραφήματα βοηθάνε στην οπτική απεικόνιση μίας ταλάντωσης όμως κάτι τέτοιο επιτυγχάνεται και με την χρήση κάποιας προσομοίωσης.

Δευτέρα, 24 Αυγούστου 2015

Απόλυτη και σχετική πίεση

Στην καθημερινότητα μας ακούμε για την πίεση που έχουν τα λάστιχα του αυτοκινήτου ή την πίεση που δέχεται ένας δύτης από το νερό. Τι είναι όμως η πίεση; Για να είμαστε ακριβής η πίεση εισάγεται στην μηχανική των ρευστών μέσω των καταστατικών εξισώσεων που ισχύουν για κάποιο ρευστό.

Κυριακή, 23 Αυγούστου 2015

Προσομοίωση στην κυκλική κίνηση

Πολλές φορές διαβάζουμε για μεταβλητές σε βιβλία χωρίς να καταλαβαίνουμε πως επηρεάζουν την κίνηση ενός σώματος. Επομένως, αναγκαζόμαστε να δημιουργούμε εικόνες στο μυαλό μας για να συνειδητοποιήσουμε την συσχέτιση ενός φαινομένου με μία μεταβλητή. Η δημιουργία αυτών των εικόνων γίνεται πολύ ευκολότερη με την χρήση προσομοιώσεων.

Δευτέρα, 17 Αυγούστου 2015

Η ισχύς μίας αντλίας

Οι αντλίες, ενεργειακά μιλώντας, είναι διατάξεις που προσθέτουν ενέργεια σε ένα υδραυλικό σύστημα. Επομένως πολλές φορές πρέπει να υπολογίσουμε την ισχύ μίας αντλίας, δηλαδή τον ρυθμό με τον οποίο προσθέτει ενέργεια σε ένα υδραυλικό σύστημα. Για να το πετύχουμε αυτό αρκεί να αναλύσουμε την εξίσωση Bernoulli.

Κυριακή, 16 Αυγούστου 2015

Σύστημα αγωγών και αντλίας

Από την καθημερινή μας εμπειρία γνωρίζουμε πως ένα ρευστό ρέει από ένα υψηλό σημείο προς ένα χαμηλότερο. Έτσι σε περιπτώσεις που για την ύδρευση ενός οικισμού απαιτείται να μεταφερθεί νερό από ένα χαμηλό σε ένα υψηλότερο σημείο χρησιμοποιούνται αντλίες. Συγκεκριμένα, οι αντλίες είναι διατάξεις που αυξάνουν την πίεση σε ένα σημείο της ροής (μπορείτε να δείτε περισσότερα για τις αντλίες στην ανάρτηση Φυγόκεντρες αντλίες). Παρακάτω θα εξετάσουμε μία εφαρμογή όπου φαίνεται η χρήση μίας αντλίας.

Πέμπτη, 6 Αυγούστου 2015

Δίκτυο διανομής νερού

Το νερό που φτάνει στα σπίτια μας ή το νερό που αρδεύει τις αγροτικές περιοχές συλλέγεται από την φύση. Με το πέρασμα των χρόνων ο άνθρωπος εξέλιξε διάφορες τεχνικές ώστε να συγκεντρώνει το νερό από την βροχή, από τα ποτάμια και από τον υδροφόρο ορίζοντα. Μετά την συλλογή του, το νερό αυτό με συστήματα αγωγών διανέμεται στις περιοχές όπου υπάρχει ανάγκη. Σε αυτή την ανάρτηση θα δούμε μία εφαρμογή η οποία μελετάει ένα τέτοιο σύστημα.

Παρασκευή, 31 Ιουλίου 2015

Η λογική πίσω από έναν γενετικό αλγόριθμο

Σε παλιότερες αναρτήσεις έχουμε δει τα πλεονεκτήματα των γενετικών αλγόριθμων αλλά και έναν κώδικα που υλοποιεί έναν τέτοιο αλγόριθμο. Όμως αυτό που δεν εξηγήσαμε αναλυτικά είναι η ιδέα στην οποία στηρίζεται ένας γενετικός αλγόριθμος. Επομένως, στην παρούσα ανάρτηση θα εξηγήσουμε ακριβώς αυτή την λογική.

Πέμπτη, 30 Ιουλίου 2015

Αγωγός μέσα στην θάλασσα

Πολλές φορές οι μηχανικοί αναγκάζονται να τοποθετήσουν αγωγούς μέσα στον βυθό της θάλασσας ώστε να μην προκληθούν καταστροφές από τις άγκυρες των πλοίων ή από άλλους παράγοντες. Αυτό όμως δεν είναι πάντα δυνατό αφού τα θαλάσσια ρεύματα δεν επιτρέπουν πολλές φορές την εκσκαφή του βυθού. Τότε οι υδραυλικοί μηχανικοί καλούνται να διαστρώσουν τον αγωγό πάνω στον πυθμένα της θάλασσας. Σε αυτή την ανάρτηση θα μελετήσουμε μια τέτοια διάστρωση.

Κυριακή, 26 Ιουλίου 2015

Διάμετρος φλέβας νερού

Όταν πάει κάποιος σε μία βρύση για να πλύνει τα χέρια του ή το πρόσωπο του μπορεί να παρατηρήσει πως η φλέβα νερού που δημιουργείται μετά το άνοιγμα της βρύσης έχει μεταβλητό πάχος. Συγκεκριμένα όσο απομακρύνεται το νερό από την βρύση τόσο μικρότερη διάμετρο έχει η φλέβα. Στην ανάρτηση αυτή θα δούμε μία εφαρμογή που εξηγεί το φαινόμενο αυτό.

Πέμπτη, 9 Ιουλίου 2015

Irrigation Solver (Η διπλωματική μου)

Η επίλυση αρδευτικών δικτύων απαιτεί αρκετούς υπολογισμούς καθώς υπάρχουν αρκετοί παράμετροι που πρέπει να προσδιοριστούν. Με την πάροδο του χρόνου η ανάπτυξη του προγραμματισμού βοήθησε τους επιστήμονες να λύσουν δύσκολα προβλήματα με την βοήθεια των υπολογιστών. Το αντικείμενο, λοιπόν, της διπλωματικής μου εργασίας ήταν η δημιουργία ενός προγράμματος το οποίο επιλύει αρδευτικά δίκτυα με εκτοξευτήρες ή σταλακτήρες (δείτε Αρδευτικά δίκτυα).

Αρδευτικά δίκτυα

Τα αρδευτικά δίκτυα παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των καλλιεργειών και η χρήση τους είναι απαραίτητη. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι γιατί τα φυτά χάνουν υγρασία μέσω των διαδικασιών της εξάτμισης και της διαπνοής (εξατμισοδιαπνοή). Επομένως, στην περίπτωση που η φυσική βροχόπτωση δεν επαρκεί για την αναπλήρωση της υγρασίας σε μία καλλιέργεια εφαρμόζουμε σε αυτή τεχνητή βροχόπτωση, δηλαδή άρδευση.

Κυριακή, 28 Ιουνίου 2015

Δύο εφαρμογές της υδροστατικής πίεσης

Υδροστατική πίεση είναι η πίεση που ασκείται από το ρευστό στην περίπτωση που αυτό είναι ακίνητο (στάσιμο). Συγκεκριμένα οι λεπτομέρειες της υδροστατικής πίεσης αναλύονται στην ανάρτηση Υδροστατική πίεση. Έτσι παρακάτω θα δούμε δύο εφαρμογές, από τις οποίες η μία θα αφορά τα υγρά και η άλλη τα αέρια.

Παρασκευή, 26 Ιουνίου 2015

Ποιος θα επιβιώσει πάνω σε μία σχεδία;

Μία μηχανικός και ένας φυσικός κάνουν μία ερωτική κρουαζιέρα μαζί. Ξαφνικά το πλοίο πήρε φωτιά με αποτέλεσμα το ζευγάρι να βρίσκεται πάνω σε μία σχεδία στη μέση του πελάγους. Τότε η μηχανικός και ο φυσικός γνωρίζοντας πως
  1. η μηχανικός ζυγίζει 60 kg
  2. o φυσικός ζυγίζει 82 kg (είχε καταναλώσει 2 kg παϊδάκια πριν που χάλασαν την σιλουέτα του)
  3. το εμβαδόν της σχεδίας είναι A=1 m2
  4. το πάχος της σχεδίας είναι 20 cm
  5. το βάρος της σχεδίας είναι 60 kg
υπολογίζουν αν θα αντέξει και τους δύο η σχεδία.

Παρασκευή, 12 Ιουνίου 2015

Μέθοδος Runge-Kutta 4ης τάξης

Σε αυτή την ανάρτηση θα μελετήσουμε την μέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης που είναι μία αριθμητική μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Η διαφορά αριθμητικών και αναλυτικών μεθόδων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων είναι η εξής: χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων προσδιορίζουμε απευθείας την συνάρτηση που αναζητούμε ενώ με την βοήθεια αριθμητικών μεθόδων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, όπως η Runge-Kutta, υπολογίζουμε σημεία που ανήκουν στην συνάρτηση που αναζητούμε. Έτσι με την μέθοδο Runge-Kutta προσπαθούμε να προσδιορίζουμε τα σημεία που ανήκουν στην λύση της διαφορικής εξίσωσης μας.

Δημιουργία γραφημάτων αποσβενόμενων ταλαντώσεων με την βοήθεια H/Y

Οι αποσβενόμενες ταλαντώσεις είναι ταλαντώσεις σωμάτων τα οποία κατά την διάρκεια της κίνησης τους χάνουν ενέργεια λόγω τριβών. Συνεπώς αυτό το είδος των ταλαντώσεων είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα σε σχέση με τις αρμονικές ταλαντώσεις όπου το σώμα δεν χάνει καθόλου ενέργεια. Σε αυτή την ανάρτηση θα αναλύσουμε την εξίσωση κίνησης των αποσβενόμων ταλαντώσεων και θα δούμε πως σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση μίας τέτοιας ταλάντωσης.

Κυριακή, 7 Ιουνίου 2015

Η έννοια της ελαστικότητας

Σε αυτή την ανάρτηση θα εξετάσουμε μία μαθηματική έννοια η οποία πολλές φορές χρησιμοποιείται αντί της παραγώγου κυρίως σε προβλήματα οικονομικής φύσης ή σε προβλήματα μεταφορών. Η έννοια αυτή είναι η ελαστικότητα. Ο λόγος που η ελαστικότητα χρησιμοποιείται σε αρκετά προβλήματα είναι πως δεν έχει μονάδες σε αντίθεση με την παράγωγο.

Σάββατο, 30 Μαΐου 2015

Διανυσματική ροή

Πολλές φορές σε διάφορους τομείς των θετικών επιστημών χρησιμοποιούμε διανυσματικά πεδία ώστε να περιγράψουμε ορισμένες ιδιότητες του χώρου. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν τα ηλεκτρικά πεδία που μας δίνουν την δυνατότητα να καθορίσουμε την δύναμη πάνω σε ένα ηλεκτρικό φορτίο. Συχνά όμως μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την διανυσματική ροή ενός τέτοιου πεδίου. Παρακάτω θα δούμε τι ακριβώς είναι η διανυσματική ροή και τι είδη διανυσματικών ροών υπάρχουν.

Πέμπτη, 28 Μαΐου 2015

Γιατί δεν μπορεί κάποιος να διαιρέσει με το μηδέν;

Από το γυμνάσιο, στα μαθηματικά διδάσκεται πως δεν γίνεται να διαιρέσεις έναν αριθμό με το μηδέν. Από τότε αυτό μας συνοδεύει μέχρι το πανεπιστήμιο και μετέπειτα στην επαγγελματική μας ζωή. Όμως ποιος είναι ο λόγος που ισχύει κάτι τέτοιο; και γιατί η διαίρεση με το μηδέν είναι διαφορετική από την διαίρεση με κάποιον άλλο αριθμό;

Τετάρτη, 20 Μαΐου 2015

Εφαρμογή της αρχής της επαλληλίας για τον υπολογισμό ηλεκτρικού πεδίου

Θα εξετάσουμε μία εφαρμογή η οποία εξαιτίας της αρχής της επαλληλίας λύνεται χωρίς πολλούς υπολογισμούς. Έστω ότι έχουμε το κανονικό πεντάγωνο του σχήματος 1. Στις τέσσερις κορυφές του έχουν τοποθετηθεί φορτία ίσα με +10 μC και στην άλλη κορυφή του βρίσκεται φορτίο +3 μC. Αν η απόσταση κάθε κορυφής από το κέντρο του πενταγώνου είναι d=10 cm βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο κέντρο του πενταγώνου.

Παρασκευή, 8 Μαΐου 2015

Η τέταρτη διάσταση

Η θεωρία της σχετικότητας του Einstein προβλέπει πως το σύμπαν έχει τέσσερις διαστάσεις. Αν σκεφτούμε πως η θεωρία αυτή έχει αποδειχθεί (και συνεχίζει να αποδεικνύεται) πειραματικά τότε δεν έχουμε παρά να δεχθούμε την ύπαρξη της τέταρτης διάστασης. Όμως τι σημαίνει τέταρτη διάσταση και πως μπορούμε να την αντιληφθούμε;

Δευτέρα, 4 Μαΐου 2015

Η συστολή του χρόνου

Η συστολή του χρόνου είναι ένα φαινόμενο που γίνεται έντονο όταν ένα σύστημα αναφοράς κινείται σε ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός. Τότε ένας παρατηρητής πάνω σε αυτό το σύστημα αναφοράς θα παρατηρήσει πως ο χρόνος κυλάει πιο αργά για εκείνον σε σχέση με έναν παρατηρητή που δεν κινείται. Πως εξηγείται όμως αυτό;

Πέμπτη, 9 Απριλίου 2015

Το φαινόμενο Doppler

Πολλές φορές έχουμε παρατηρήσει ότι όταν ένα περιπολικό περνάει από δίπλα μας με μεγάλη ταχύτητα η οξύτητα του ήχου της σειρήνας του φαίνεται να μειώνεται. Το φαινόμενο αυτό λέγεται φαινόμενο Doppler. Όταν η πηγή παραγωγής του ήχου και και ο ακροατής βρίσκονται σε σχετική κίνηση η συχνότητα της πηγής διαφέρει με την συχνότητα που παρατηρεί ο ακροατής.

Τετάρτη, 8 Απριλίου 2015

Μη γραμμικοί ταλαντωτές

Θα μελετήσουμε την έννοια του μη γραμμικού ταλαντωτή και συγκεκριμένα το ελατήριο αέρα. Ένας μη γραμμικός ταλαντωτής χαρακτηρίζεται από μία μη γραμμική διαφορική εξίσωση κίνησης, η επίλυση της οποίας απαιτεί γραμμικοποίηση. Παρακάτω θα μελετήσουμε πως καταστρώνουμε την διαφορική εξίσωση και πως βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης.

Τρίτη, 31 Μαρτίου 2015

Εικόνες ηλεκτρικών πεδίων

Στην φυσική και στα μαθηματικά τα διανυσματικά πεδία χρησιμοποιούνται συνεχώς. Τέτοια πεδία είναι το βαρυτικό πεδίο, το ηλεκτρικό, το μαγνητικό, το πεδίο ροής ενός ρευστού κτλ. Θα αναπτύξουμε έναν αλγόριθμο που να μας δίνει μία εικόνα ενός ηλεκτρικού πεδίου σε έναν χώρο ανάλογα με τα φορτία που βρίσκονται σε αυτόν.

Πέμπτη, 26 Μαρτίου 2015

Διαμόρφωμα περίθλασης

Θα μελετήσουμε τις εικόνες περίθλασης που δημιουργούνται κατά την πτώση επίπεδων μετώπων κύματος σε μία σχισμή. Για την ανάπτυξη των εικόνων αυτών θα δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο που θα αναπαριστά το φαινόμενο της περίθλασης και με αλλαγή των παραμέτρων που εισάγουμε στον αλγόριθμο θα δούμε τις διαφορές στην εικόνα περίθλασης.

Κυριακή, 22 Μαρτίου 2015

Υπολογισμός του π

Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι που υπολογίζουν τον αριθμό π. Συνήθως ο υπολογισμός γίνεται με διάφορες σειρές ή με κλάσματα. Παρακάτω θα δούμε ένα αλγόριθμο που βασίζεται στην τύχη. Όμως με την βοήθεια της θεωρίας των πιθανοτήτων το αποτέλεσμα δεν είναι τυχαίο.

Τρίτη, 17 Μαρτίου 2015

Θερμική απόδοση μηχανής

Θα μελετήσουμε μία εφαρμογή σχετική με θερμικές μηχανές. Έστω πως έχουμε μία μηχανή η οποία υποβάλλει n γραμμομόρια ιδανικού αερίου στον κύκλο του σχήματος 1. Γνωρίζοντας πως Cv=20 J/mol K βρείτε την θερμική απόδοση της μηχανής.

Τετάρτη, 11 Μαρτίου 2015

Πότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις συνθήκες ισορροπίας

Στην ανάρτηση Συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος είπαμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις δύο συνθήκες ισορροπίας σε σώματα

  1. που βρίσκονται σε στατική ισορροπία, δηλαδή σε σώματα που ούτε περιστρέφονται ούτε εκτελούν μεταφορική κίνηση
  2. που εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα
Όμως οι συνθήκες ισορροπίας μπορούν να εφαρμοστούν και για σώματα
  1. που εκτελούν και μεταφορική κίνηση με σταθερή ταχύτητα και περιστροφική γύρω από το κέντρο μάζας τους με σταθερή γωνιακή ταχύτητα
  2. που εκτελούν μόνο περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από το κέντρο μάζας τους

Τρίτη, 10 Μαρτίου 2015

Συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος

Πολλά προβλήματα στατικής βασίζονται στις λεγόμενες συνθήκες ισορροπίας. Οι συνθήκες αυτές ουσιαστικά μας δίνουν τις προϋποθέσεις για να ισορροπεί ένα στερεό σώμα και βοηθάνε στην επίλυση προβλημάτων στατικής. Παρακάτω θα αναλύσουμε ποιες είναι αυτές οι συνθήκες και από που προκύπτουν.

Δευτέρα, 9 Μαρτίου 2015

Πρόγραμμα για διαστασιολόγηση αγωγών

Βασιζόμενοι στην ανάρτηση Διαστασιολόγηση αγωγών και απώλειες ενέργειας μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν κώδικα που να αυτοματοποιεί την όλη διαδικασία και να αποτρέπει τυχόν αριθμητικά λάθη κατά την διάρκεια της. Το παρακάτω πρόγραμμα έχει αναπτυχθεί σε περιβάλλον visual basic 6 και συμπεριλαμβάνει μία φόρμα όπου έχει γραφτεί ο κύριος κώδικας και ένα module όπου έγινε η δήλωση των μεταβλητών.

Κυριακή, 8 Μαρτίου 2015

Διαστασιολόγηση αγωγών και υπολογισμός απωλειών ενέργειας

Η διαστασιολόγηση αγωγών είναι ένα βασικό ζήτημα των υδραυλικών μηχανικών. Πολλές φορές χρειάζεται σε υδρευτικά ή αρδευτικά έργα. Θα αναλυθεί η διαδικασία που ακολουθείται από τους μηχανικούς και οι ποσότητες οι οποίες παίζουν ρόλο σε όλη την διαστασιολόγηση. Έπειτα θα εξετάσουμε ενεργειακά το ζήτημα και θα δούμε ποιες είναι οι απώλειες ενέργειας εξαιτίας της ροής του νερού και τι αντλίες χρειάζονται για να έχουμε την επιθυμητή πίεση στο πέρας ενός αγωγού.

Παρασκευή, 6 Μαρτίου 2015

Ταχύτητα σύγκλισης αριθμητικών μεθόδων επίλυσης εξισώσεων

Σε προηγούμενες αναρτήσεις έχουν παρουσιαστεί τέσσερις μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων. Αυτές είναι οι μέθοδοι:
  1. των απλών συναρτησιακών επαναλήψεων
  2. Newton-Raphson
  3. της διχοτόμησης
  4. της τέμνουσας
Όμως ποια μας δίνει σύγκλιση στις λιγότερες επαναλήψεις;

Η μέθοδος της τέμνουσας

Σε προηγούμενη ανάρτηση ασχοληθήκαμε με την μέθοδο Newton-Raphson ώστε να μπορέσουμε να λύσουμε μη γραμμικές εξισώσεις. Η μέθοδος αυτή έχει πολύ γρήγορη σύγκλιση αλλά το ελάττωμα της είναι το εξής: χρειάζεται να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης για την οποία ψάχνουμε την ρίζα. Σε μερικές περιπτώσεις αυτό είναι δύσκολο και ως εκ τούτου χρησιμοποιούμε μία άλλη μέθοδο που ονομάζεται η μέθοδος της τέμνουσας.

Υπολογισμοί ομοιόμορφου βάθους

Θα δούμε τους τύπους με τους οποίους υπολογίζονται τα ομοιόμορφα βάρη σε διάφορους τύπους ανοικτών αγωγών (ορθογωνικοί, τραπεζοειδείς και κυκλικοί). Έπειτα θα χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους τύπους σε αριθμητικές εφαρμογές ώστε να δούμε τι δυσκολίες μπορούν να προκύψουν.

Δευτέρα, 2 Μαρτίου 2015

Κλίμακα: Μια παρεξηγημένη διάσταση στην επιστήμη του μηχανικού

Μία εργασία του Χρήστου Κωνσταντέλου

Οι περισσότεροι από εμάς τους εκκολαπτόμενους μηχανικούς είμαστε σε θέση να κατανοούμε σύνθετα προβλήματα μαθηματικών, φυσικής, αστρονομίας, γεωδαισίας αλλά όταν έρχεται αυτή η ριμάδα ώρα να σχεδιάσουμε ή έστω να χρησιμοποιήσουμε την κλίμακα ενός χάρτη, σχεδίου εκεί τα χάνουμε. Κακώς κατά τη γνώμη μου γιατί η κλίμακα είναι κάτι πολύ απλό: Χ/Π. Όπου Χ το πρώτο σύμφωνο της λέξης χάρτη και Π της αντίστοιχης που ακούει στην πραγματικότητα. Ας το δούμε πιο επιστημονικά βέβαια, γιατί θα ρωτάει κανείς πώς βρίσκω το Χ και πως το Π. Στο λόγο που αναφέραμε μιλάμε για αποστάσεις, την ίδια απόσταση μιας περιοχής όπως τη μετράμε στο χάρτη που μπορεί να έχουμε αλλά και στην αντίστοιχη απόσταση στην πραγματικότητα. Αν θέλουμε να το πούμε ακόμα πιο επιστημονικά είναι ο λόγος της γραφικής διάστασης ενός αντικειμένου προς την πραγματική.

Σάββατο, 28 Φεβρουαρίου 2015

Συνδεσμολογία αντιστατών και ροή νερού σε στρώματα εδάφους

Στην φύση υπάρχουν πολλές αναλογίες. Πολλά πράγματα που μοιάζουν φαινομενικά άσχετα στην πραγματικότητα εκφράζονται από τους ίδιους κανόνες και νόμους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι τα υδραυλικά και ηλεκτρικά κυκλώματα. Πχ μία πηγή και μία αντλία κάνουν ακριβώς το ίδιο πράγμα. Η πρώτη "αντλεί" φορτία και η δεύτερη νερό. Μία ακόμη αναλογία αυτού του τύπου είναι η ροή του ρεύματος μέσα από αγώγιμο υλικό και η ροή του νερού μέσα από στρώμα εδάφους.

Παρασκευή, 27 Φεβρουαρίου 2015

Εφαρμογές του νόμου του Ampere

Ο νόμος του Ampere είναι ένας εναλλακτικός τρόπος για τον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ μαγνητικού πεδίου και των πηγών του. Αυτός ο νόμος αποδίδει σε συμμετρικά προβλήματα καθώς η χρήση του είναι πιο εύκολη από τον νόμο Biot και Savart. Επίσης ο νόμος του Ampere είναι ανάλογος του νόμου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο.

Τρίτη, 24 Φεβρουαρίου 2015

Σε πόση ώρα θα ψηθεί το τοστ μου;

Μόλις έβαλα ένα τοστ να ψήσω. Επειδή όλη την μέρα έτρωγα νηστίσιμα (και μία μπουγάτσα) και πεινούσα, η πρώτη ερώτηση που προέκυψε στο μυαλό μου μόλις το έβαλα στην τοστιέρα ήταν η εξής: Σε πόση ώρα ακριβώς θα είναι έτοιμο; Έτσι σκέφτηκα να κάτσω να υπολογίσω τον χρόνο που θα περιμένω.

Παρασκευή, 20 Φεβρουαρίου 2015

Άνωση και βάρος

Θα δούμε δύο εφαρμογές σχετικές με την άνωση που δέχονται σώματα από υγρά και με το βάρος τους. Η πρώτη αφορά την δεξαμενή του σχήματος 1 που είναι ανεστραμμένη. Αν τα τοιχώματα της δεν έχουνε βάρος πόσο είναι το βάρος της; Και αν η δεξαμενή κρατιέται έτσι ώστε να βρίσκεται 10 m κάτω από την επιφάνεια του νερού (σχήμα 2) πόση είναι η δύναμη που ασκείται στην οροφή της δεξαμενής από τον αέρα που βρίσκεται εντός της; Δίνεται πως η διάμετρος της δεξαμενής είναι D=6 m.

Δευτέρα, 16 Φεβρουαρίου 2015

Μοριακές ιδιότητες της ύλης

Η ύλη έχει ορισμένες μακροσκοπικές ιδιότητες όπως ελαστικότητα, πυκνότητα, επιφανειακή τάση κτλ. Παρακάτω θα εξετάσουμε την συμπεριφορά των υλικών σε σχέση με την μικροσκοπική δομή τους. Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να σκεφτούμε από τι αποτελείται η ύλη.

Σάββατο, 14 Φεβρουαρίου 2015

Ένα σύστημα μετατροπής της μηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική

Η ανάρτηση αυτή είναι η συνέχεια της ανάρτησης Ηλεκτρεγερτική δύναμη λόγω κίνησης και μέχρι τώρα τις είχα ενωμένες σε ένα κείμενο αλλά θέλησα να τις ξεχωρίσω. Έστω ότι έχουμε ένα μαγνητικό πεδίο Β και μέσα σε αυτό έχουμε έναν αγωγό σχήματος U (αντίστασης R) πάνω στον οποίο ολισθαίνει μία ράβδος με ταχύτητα u. Το σύστημα αυτό είναι ένα σύστημα μετατροπής της μηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική. Παρακάτω εξηγείται γιατί συμβαίνει αυτό.

Τετάρτη, 11 Φεβρουαρίου 2015

Σειρές Taylor και Maclaurin και εφαρμογές τους

Θα εξετάσουμε την εφαρμογή σειρών Taylor και Maclaurin στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Λογάριθμοι, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν σε δυναμοσειρές. Όμως πρέπει πρώτα να δούμε τι είναι η δυναμοσειρά και τι οι σειρές Taylor και Maclaurin.

Κυριακή, 8 Φεβρουαρίου 2015

Ολίσθηση και ανατροπή

Έχουμε ένα κεκλιμένο επίπεδο στο οποίο υπάρχει η δυνατότητα αλλαγής της κλίσης του. Πάνω του έχουμε τοποθετήσει ένα σώμα μάζας m το οποίο έχει πλάτος a=0.5 m και ύψος b=0.75 m . Το κέντρο βάρους του ταυτίζεται με το γεωμετρικό του κέντρο και ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μs=0.4 . Αυξάνουμε την κλίση με αργό ρυθμό. Για ποια τιμή της κλίσης θ το σώμα θα ανατραπεί (αν δεν ολισθήσει πρώτα); Για ποια τιμή της κλίσης το σώμα θα ολισθήσει (αν δεν ανατραπεί πρώτα); Ποια από τις δύο περιπτώσεις θα συμβεί πρώτα;

Τρίτη, 3 Φεβρουαρίου 2015

Ροή ρευστών σε κλειστούς αγωγούς

Πολλές φορές για να επιλυθεί ένα πρόβλημα ροής ρευστών σε κλειστούς αγωγούς χρησιμοποιείται το θεώρημα του Bernoulli το οποίο ισχύει για ιδανικά ρευστά. Όμως τα πραγματικά ρευστά διαφέρουν από τα ιδανικά και έχουν πιο πολύπλοκη ροή. Αυτό συμβαίνει γιατί προκαλούνται διατμητικές τάσεις μεταξύ των στρώσεων του ρευστού και μεταξύ των τοιχωμάτων του αγωγού και του ρευστού. Έτσι για να λύσουμε τέτοια προβλήματα ροής πρέπει να καταφύγουμε σε πειραματικές και ημιεμπερικές μεθόδους.

Σάββατο, 31 Ιανουαρίου 2015

Και όμως δεν ισχύει ο νόμος βρόγχων του Kirchhoff (υπό προϋποθέσεις φυσικά)

Θα εξετάσουμε κάτι που συνεχώς κάνουμε λάθος στην φυσική και συγκεκριμένα στον ηλεκτρομαγνητισμό. Επίσης θα εξετάσουμε κάτι που τα πιο πολλά βιβλία φυσικής κάνουν λάθος. Ο νόμος του Kirchhoff στην περίπτωση που έχουμε μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή διαμέσου ενός κυκλώματος δεν ισχύει. Παρακάτω θα δούμε γιατί.

Μαθηματική περιγραφή ενός κύματος

Για να έχουμε μία λεπτομερή περιγραφή της θέσης και της κίνησης των σωματιδίων ενός μέσου όταν ένα κύμα διέρχεται από αυτό χρειαζόμαστε την έννοια της κυματοσυνάρτησης. Αυτή η συνάρτηση μας βοηθάει να υπολογίσουμε τη θέση οποιουδήποτε σωματιδίου του μέσου ανά πάσα χρονική στιγμή. Θα αναλύσουμε τα ημιτονοειδή κύματα όπου κάθε σωματίδιο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Τετάρτη, 28 Ιανουαρίου 2015

Η μέθοδος της διχοτόμησης (αριθμητική επίλυση εξισώσεων μέρος 2)

Τώρα θα εξετάσουμε την μέθοδο της διχοτόμησης. Η ανάρτηση αυτή αποτελεί συνέχεια της ανάρτησης Η μέθοδος Newton-Raphson. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στο θεώρημα του Bolzano και είναι η ακόλουθη:

Η μέθοδος Newton-Raphson (αριθμητική επίλυση εξισώσεων μέρος 1)

Θα εξετάσουμε δύο μεθόδους επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων. Ήδη στην ανάρτηση Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με την μέθοδο των συναρτησιακών επαναλήψεων έχουμε εξετάσει μία τέτοια μέθοδο. Οι δύο μέθοδοι που θα παρουσιάσουμε σήμερα είναι η μέθοδος Newton-Raphson και η μέθοδος της διχοτόμησης.

Σάββατο, 24 Ιανουαρίου 2015

Τα σφάλματα κλεισίματος των οδεύσεων

Μία πολυγωνομετρική όδευση είναι μία τεθλασμένη γραμμή η οποία έχει ως σκοπό την δημιουργία στάσεων για την αποτύπωση σημείων λεπτομερειών. Για να προσδιορισθούν οι συντεταγμένες των κορυφών της απαιτούνται διαδοχικές επαναλήψεις του πρώτου θεμελιώδους προβλήματος. Τα απαραίτητα στοιχεία που πρέπει να μετρηθούν κατά την διάρκεια των εργασιών πεδίου είναι οι αποστάσεις των πλευρών της όδευσης καθώς και οι γωνίες θλάσης της.

Σύμφωνες πηγές και συμβολή

Θα αναλύσουμε το πείραμα του Thomas Young (double slit experiment) που αφορά την συμβολή από δύο πηγές και έπειτα θα εξάγουμε τις βασικές σχέσεις το διέπουν. Ουσιαστικά αυτό το πείραμα επιβεβαίωσε ότι η μία από τις δύο φύσεις του φωτός είναι η κυματική. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Young φαίνεται στο σχήμα 1.

Τρίτη, 20 Ιανουαρίου 2015

Οπτικοποίηση: Μία άγνωστη επιστήμη του μηχανικού

Μία εργασία του Χρήστου Κωνσταντέλου:

Οπτικοποίηση μια έννοια τελείως γενική, αλλά με πολλές εφαρμογές στο επάγγελμα του μηχανικού. Όταν μιλάμε για οπτικοποίηση, συχνά αναφερόμαστε στην προσπάθεια να γίνει κατανοητό το θέμα που παρουσιάζουμε με την χρήση κατάλληλων οπτικοακουστικών μέσων, όπως εικόνα,κάποιο διάγραμμα ή το ευρέως γνωστό “animation”( Απόδοση Κίνησης στην Εικόνα). Δυστυχώς, καλύτερος ορισμός δεν μπορεί να δοθεί για τον όρο παρά μόνο για τις διάφορες μορφές οπτικοποίησης. Εμείς όμως θα ασχοληθούμε με το τελευταίο, δηλαδή την Απόδοση Κίνησης στην Εικόνα.  

Κυριακή, 18 Ιανουαρίου 2015

Έργο δύναμης μεταβλητού μέτρου

Θα δούμε τρεις εφαρμογές που σχετίζονται με το έργο που παράγει μία δύναμη μεταβλητού μέτρου αλλά σταθερής διεύθυνσης. Η πρώτη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε μία κυλινδρική δεξαμενή με ακτίνα 3 m και ύψος 10 m η οποία είναι γεμάτη με νερό. Θέλουμε να αντλήσουμε το νερό αυτό από το πάνω μέρος της δεξαμενής. Βρείτε το έργο που πρέπει να παράγει η αντλία δεδομένου ότι το ειδικό βάρος του νερού είναι w=9800 N/m3 .

Παρασκευή, 16 Ιανουαρίου 2015

Αδιαβατικές μεταβολές σε ιδανικό αέριο

Αδιαβατική μεταβολή είναι μία μεταβολή στην οποία δεν υπάρχει διάδοση θερμότητας μεταξύ του συστήματος και του περιβάλλοντος του. H αδιαβατική μεταβολή είναι κάτι το ιδανικό αφού πάντα υπάρχει διάδοση θερμότητας μεταξύ του περιβάλλοντος και του συστήματος. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι έχουμε μία κατά προσέγγιση αδιαβατική μεταβολή όταν το σύστημα είναι μονωμένο ή όταν η μεταβολή γίνεται πολύ γρήγορα ώστε να μην υπάρξει χρόνος για διάδοση της θερμότητας.

Τετάρτη, 14 Ιανουαρίου 2015

Προσομοιώσεις

Οι προσομοιώσεις είναι εικονικά πειράματα που πραγματοποιούνται σε περιβάλλον ηλεκτρονικών υπολογιστών. Αυτές δίνουν την δυνατότητα στο άτομο που τις χρησιμοποιεί να παρατηρήσει ένα φαινόμενο ώστε να μπορέσει να καταλάβει την φυσική του σημασία. Συνεπώς, καλλιεργούν την φυσική διαίσθηση στους χρήστες.

Διαχρονική εξέλιξη των μεθόδων απεικόνισης του γήινου ανάγλυφου στις τρεις διαστάσεις.

Διαχρονική εξέλιξη των μεθόδων απεικόνισης του γήινου ανάγλυφου στις τρεις διαστάσεις.

Κωνσταντέλος Χρήστος1
Λέξεις κλειδιά: ανάγλυφο, ισουψείς καμπύλες, γραμμοσκιάσεις, σκιάσεις,χαρτογραφία

Περίληψη: Αυτή η εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος « Μη συμβατική χαρτογραφία» του 9ου εξαμήνου του τμήματος Αγρονόμων και Τοπογράφων μηχανικών Α.Π.Θ. Το θέμα αναλύθηκε είναι η διαχρονική εξέλιξη των μεθόδων απεικόνισης του αναγλύφου της γης κυρίως στις τρεις διαστάσεις. Η ιστορική εξέλιξη του τρόπου αναπαράστασης του ανάγλυφου είναι συνδεδεμένη με τη διαρκή αναζήτηση κατάλληλων μεθόδων δεδομένου ότι οι πιο αποτελεσματικές οπτικά τεχνικές δεν δίνουν ακριβείς πληροφορίες για το ανάγλυφο, σε αντίθεση με τις πλέον ακριβείς, οι οποίες είναι λιγότερο αποτελεσματικές οπτικά. Έτσι, η απεικόνιση του αναγλύφου ιστορικά πραγματοποιήθηκε με αρκετούς τρόπους μέχρι να καταλήξει στους τρεις σημερινούς και πιο συνηθισμένους, δηλαδή στη μέθοδο των ισοϋψών καμπυλών, τη μέθοδο των σκιάσεων και τέλος αυτή των γραμμοσκιάσεων2 .

Κυριακή, 11 Ιανουαρίου 2015

Υπολογισμός μήκους τόξου καμπύλης

Στην ανάρτηση αυτή θα δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο που υπολογίζει το μήκος τόξου μίας καμπύλης. Υπάρχει η δυνατότητα αυτό το μήκος να υπολογιστεί αναλυτικά όμως θα δούμε πως απαιτείται ο υπολογισμός ολοκληρώματος. Συνεπώς υπάρχει η περίπτωση μία τέτοια επίλυση να είναι δύσκολη και επίπονη.

Σάββατο, 10 Ιανουαρίου 2015

Εφαρμογή πάνω στην κλίση τριβής

Θα εξετάσουμε την ακόλουθη εφαρμογή: Αγωγός τριγωνικής διατομής που έχει κλίση πρανών m=1 και συντελεστή τριβής n=0.015 φέρει παροχή Q=1.5 m3/s ενώ έχει ομοιόμορφο βάθος y0=1.14 m. Να υπολογίσετε την κλίση του πυθμένα S0, το κρίσιμο βάθος yc και την κρίσιμη κλίση Sc. Επίσης να χαρακτηριστεί το είδος κλίσης του πυθμένα.

Εξισώσεις βαθμιαίας μεταβαλλόμενης ροής

Θα ασχοληθούμε με την μόνιμη βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή. Σε αυτή την κατάσταση ροής η μεταβολή των χαρακτηριστικών ροής είναι ήπια, δηλαδή δεν έχουμε απότομες μεταβολές και επίσης η ροή είναι μόνιμη δηλαδή δεν εξαρτάται από τον χρόνο. Στο τέλος θα καταλήξουμε σε μία εξίσωση που περιγράφει την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

Παρασκευή, 9 Ιανουαρίου 2015

Προβλήματα ελαχιστοποίησης συναρτήσεων

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές στις οποίες κατασκευάζουμε μία συνάρτηση που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό πρόβλημα και έπειτα βρίσκουμε το ελάχιστο της. Η πρώτη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο δεδομένου όγκου V=64 cm2. Βρείτε τις διαστάσεις του ώστε να χρειαστούμε το λιγότερο δυνατόν υλικό για να το κατασκευάσουμε α) αν το δοχείο είναι ανοικτό από πάνω β) αν είναι κλειστό από πάνω.

Κυριακή, 4 Ιανουαρίου 2015

Κάτοπτρα και φωτεινή πηγή

Θα εξετάσουμε μία εφαρμογή σχετική με ένα σύστημα δύο κατόπτρων. Έχουμε το ομοαξονικό κατοπτρικό σύστημα του σχήματος 1 που αποτελείται από ένα κυρτό και ένα κοίλο κάτοπτρο. Η μεταξύ τους απόσταση είναι L=0.6 m . Η ακτίνα καμπυλότητας και των δύο κατόπτρων έχει απόλυτη τιμή R=0.4 m . Τοποθετούμε σε απόσταση x από το κοίλο κάτοπτρο μία πηγή φωτός S όπως φαίνεται στο σχήμα 1. a) Για ποια τιμή του x οι ακτίνες, που προέρχονται από την φωτεινή πηγή, ανακλώνται πρώτα στο κοίλο, μετά στο κυρτό κάτοπτρο και έπειτα προσπίπτουν πάλι στην πηγή; b) Για ποια τιμή του x οι ακτίνες ανακλώνται πρώτα στο κυρτό, μετά στο κοίλο κάτοπτρο και έπειτα προσπίπτουν στην πηγή;