Παρασκευή, 31 Οκτωβρίου 2014

Αριθμητική ολοκλήρωση

Θα μελετήσουμε πως μπορούμε να κάνουμε αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ο βασικός σκοπός μας είναι, ουσιαστικά, να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα το οποίο δεν μπορεί να υπολογισθεί με αναλυτική μέθοδο. Παρακάτω θα αναλύσουμε την μέθοδο που θα ακολουθήσουμε και θα δούμε ένα παράδειγμα.

Ένα ζεύγος δυνάμεων ή δύο;

Έχουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο οποίο ασκείται διατμητική τάση. Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μπορεί στα διάφορα βιβλία φυσικής να παρασταθεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος και ο πιο συνηθισμένος τρόπος φαίνεται στο σχήμα 1 και ο λιγότερο συνηθισμένος φαίνεται στο σχήμα 2.

Τρίτη, 28 Οκτωβρίου 2014

Εφαρμογές της μηχανικής των ρευστών

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές της μηχανικής των ρευστών. Η πρώτη αφορά την άνωση και είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα κύβο με ακμή 0.4 m που αποτελείται από ξύλο. Αρχικά ο κύβος να ισορροπεί (σχήμα 1). Επίσης, στο σχήμα 1 φαίνεται η θέση του κέντρου βάρους του. Έπειτα, ο κύβος περιστρέφεται κατά 45 μοίρες γύρω από τον άξονα συμμετρίας του. Υπολογίστε την συνολική ροπή επαναφοράς του ως προς τον άξονα περιστροφής του.

Σάββατο, 25 Οκτωβρίου 2014

Υδραυλικό πλήγμα

Όταν διακοπεί ή ξεκινήσει απότομα η ροή ενός ρευστού, για παράδειγμα εξαιτίας του απότομου ξεκινήματος ή σταματήματος μιας αντλίας ή εξαιτίας του απότομου ανοίγματος ή κλεισίματος μιας βάνας, τότε εμφανίζονται φαινόμενα υδραυλικού πλήγματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται και πλήγμα κριού καθώς συνοδεύεται με την παραγωγή ενός χαρακτηριστικού ήχου που μοιάζει με το χτύπημα του κριού, ενός πολιορκητικού όπλου που χρησιμοποιούταν στην αρχαιότητα και στον μεσαίωνα.

Παρασκευή, 24 Οκτωβρίου 2014

Ηχητικά κύματα, πίεση των σημείων του μέσου και ένταση

Θα μελετήσουμε τα ηχητικά κύματα. Τα πιο απλά ηχητικά κύματα είναι αρμονικά που έχουν συγκεκριμένη συχνότητα, πλάτος και μήκος κύματος. Επίσης, αυτά τα κύματα είναι διαμήκη καθώς οι μετατοπίσεις των σημείων του μέσου είναι παράλληλες με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2014

Επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης

Θα μελετήσουμε την επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης. Οι εξισώσεις αυτές έχουν την μορφή
όπου P1, P2,..., Pν-1, Pv σταθεροί όροι. Υπάρχει μία συγκεκριμένη διαδικασία για την επίλυση αυτού του τύπου των διαφορικών εξισώσεων η οποία στηρίζεται στην μερική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης και στην λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης.

Σάββατο, 18 Οκτωβρίου 2014

Εφαρμογές πάνω στην κίνηση βλήματος

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με την κίνηση βλήματος. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έχουμε δύο σφαίρες (σχήμα 1). Η κόκκινη σφαίρα βάλλεται προς την πράσινη σφαίρα την στιγμή που η πράσινη σφαίρα αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Δείξτε πως οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν ανεξαρτήτως της αρχικής ταχύτητας u0 της κόκκινης σφαίρας. Η απόδειξη είναι η εξής:

Παρασκευή, 17 Οκτωβρίου 2014

Βαρυτική δυναμική ενέργεια και η αρχή διατήρησης της ενέργειας

Έστω ότι έχουμε ένα σώμα που το αφήνουμε να πέσει από ένα ορισμένο ύψος χωρίς αρχική ταχύτητα. Στο τέλος της πτώσης του το σώμα έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια καθώς έχει ορισμένη ταχύτητα. Αυτή η κινητική ενέργεια, όμως, δεν παράχθηκε από το πουθενά αλλά προήρθε από μία άλλη μορφή ενέργειας που σχετίζεται με το ύψους που είχε όταν άρχισε η πτώση του. Την ενέργεια που οφείλεται στο ύψος αυτό την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.

Δευτέρα, 13 Οκτωβρίου 2014

Κυβικές splines

Μία συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα I μπορεί να προσεγγιστεί από ένα σύνολο n πολυωνύμων. Τα πολυώνυμα αυτά ονομάζονται splines και οι πιο συνηθισμένες είναι οι κυβικές splines. Αυτές είναι πολυώνυμα συνεπώς είναι συνεχείς συναρτήσεις, με συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους.

Σάββατο, 11 Οκτωβρίου 2014

Ημιτονοειδές κύμα και εγκάρσια ταχύτητα των σωματιδίων του μέσου

Έχουμε ένα ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα που έχει πλάτος 0.1 m και μήκος κύματος 1.5 m. Αυτό διαδίδεται από τα αριστερά προς τα δεξιά με ταχύτητα 150 m/s. Το αριστερό άκρο της χορδής, πάνω στην οποία διαδίδεται το κύμα, την χρονική στιγμή t=0 s κινείται προς τα κάτω. Βρείτε α) την συχνότητα, την κυκλική συχνότητα και τον κυματαριθμό του κύματος β) την κυματοσυνάρτηση του κύματος γ) την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=0 m δ) την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=1.2 m ε) την μέγιστη (αλγεβρικά) εγκάρσια ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου της χορδής ζ) την εγκάρσια μετατόπιση και την εγκάρσια ταχύτητα του σωματιδίου με x=1.2 m όταν t=0.025 s.

Πέμπτη, 9 Οκτωβρίου 2014

Τουρμπομηχανές

Οι τουρμπομηχανές είναι μηχανικές διατάξεις οι οποίες είτε προσθέτουν ενέργεια σε ένα ρευστό είτε εξάγουν ενέργεια από αυτό. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στις αντλίες και στις τουρμπίνες (ή στρόβιλοι). Οι αντλίες προσθέτουν ενέργεια σε ένα υγρό ενώ οι τουρμπίνες εξάγουν ενέργεια από αυτό.

Τρίτη, 7 Οκτωβρίου 2014

Λεπτά υμένια και συμβολή

Συμβολή κυμάτων είναι η περίπτωση κατά την οποία έχουμε αλληλεπικάλυψη δύο ή περισσότερων κυμάτων στον χώρο. Θα μελετήσουμε το φαινόμενο συμβολής στην περίπτωση που έχουμε ανακλάσεις εξαιτίας της ύπαρξης ενός λεπτού υμενίου. Η βασική αρχή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η αρχή της γραμμικής επαλληλίας.

Δευτέρα, 6 Οκτωβρίου 2014

Οι βρόγχοι στον προγραμματισμό

Οι επαναληπτικές διαδικασίες (βρόγχοι) στον προγραμματισμό μας βοηθούν στην εκτέλεση τμημάτων του κώδικα περισσότερες από μια φορές. Οι διαδικασίες αυτές βασίζονται σε κάποια συνθήκη επανάληψης και στην περίπτωση που γνωρίζουμε τον ακριβή αριθμό επαναλήψεων ονομάζονται σταθερές ενώ όταν δεν τον γνωρίζουμε ονομάζονται μεταβλητές.

Σάββατο, 4 Οκτωβρίου 2014

Ρεύμα αγωγιμότητας και ρεύμα μετατόπισης

Ας δούμε την παρακάτω εφαρμογή. Στο σχήμα 1 ο πυκνωτής που απεικονίζεται έχει εμβαδόν οπλισμών Α=5 cm2 και η απόσταση μεταξύ των οπλισμών είναι d=4 mm. Ο χώρος ανάμεσα στους οπλισμούς του είναι κενός. Το ρεύμα αγωγιμότητας που φορτίζει τον πυκνωτή έχει τιμή ic=3 mA και στην αρχή του χρόνου το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι μηδέν. Ζητούνται τα παρακάτω: α) το φορτίο των οπλισμών Q, το ηλεκτρικό πεδίο Ε και η διαφορά δυναμικού V μεταξύ των οπλισμών την χρονική στιγμή 4 μs. β) τον ρυθμό μεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου στον χώρο μεταξύ των οπλισμών ως προς τον χρόνο. γ) το ρεύμα μετατόπισης id μεταξύ των οπλισμών.

Πρόγραμμα ταχυμετρίας

Ταχυμετρία είναι η διαδικασία οριζοντιογραφικής και υψομετρικής αποτύπωσης σημείων λεπτομερειών του εδάφους. Από αυτή την διαδικασία συλλέγονται δεδομένα από τα οποία, μετά από υπολογισμούς, θα προκύψουν οι συντεταγμένες των σημείων λεπτομερειών του εδάφους. Θα μελετήσουμε την δημιουργία ενός προγράμματος επεξεργασίας αυτών των δεδομένων.

Παρασκευή, 3 Οκτωβρίου 2014

Υπολογισμός της μεταβολής της εντροπίας σε ένα σύστημα

Έχουμε το εξής πρόβλημα: Φέρνουμε σε επαφή 1 kg νερού που έχει θερμοκρασία 330 Κ με 2 kg νερού που έχει θερμοκρασία 300 Κ. Αν η ειδική θερμοχωρητικότητα του νερού είναι c=4190 J/kg K πως μπορούμε να υπολογίστε την ολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος;

Πέμπτη, 2 Οκτωβρίου 2014

Θερμικές μηχανές

Θερμικές μηχανές είναι οι διατάξεις που μετατρέπουν μέρος της θερμικής ενέργειας, που προσφέρεται σε αυτές, σε μηχανική ενέργεια. Αυτό συμβαίνει καθώς στο εσωτερικό της μηχανικής υπάρχει ορισμένη ποσότητα ύλης η οποία δέχεται ή αποβάλλει θερμότητα, συμπιέζεται ή εκτονώνεται και μερικές φορές αλλάζει φάση. Αυτή η ποσότητα ύλης ονομάζεται ενεργό υλικό της μηχανής.

Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου 2014

Δυνάμεις από ρευστά σε στερεά σώματα

Πολλές φορές σε προβλήματα υδραυλικής θέλουμε να υπολογίσουμε την δύναμη που ασκείται, εξαιτίας της κίνησης ενός ρευστού, σε ένα στερεό σώμα. Για να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιούμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που αναφέρει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ίσος με την συνιστώσα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σώμα, δηλαδή