Δευτέρα, 29 Σεπτεμβρίου 2014

Αυλοί και κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Οι αυλοί είναι απλές διατάξεις που παράγουν ηχητικές συχνότητες εξαιτίας στάσιμων διαμήκων κυμάτων που δημιουργούνται στο εσωτερικό τους. Τα κύματα αυτά προκαλούν την ταλάντωση της στήλη του αέρα μέσα στον αυλό, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί με ορισμένους κανονικούς τρόπους. Κανονικό τρόπο ταλάντωσης ονομάζουμε την κίνηση στην οποία όλα τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται αρμονικά με την ίδια συχνότητα.

Κυριακή, 28 Σεπτεμβρίου 2014

Η συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων

Οι μέθοδοι συνόρθωσης παρατηρήσεων είναι μέθοδοι ανάλυσης δεδομένων. Αυτές βασίζονται στις παρατηρήσεις ορισμένων μεγεθών, που ονομάζονται παρατηρούμενες παράμετροι, και στο μαθηματικό μοντέλο της συνόρθωσης, δηλαδή στην συσχέτιση των παρατηρούμενων παραμέτρων με ορισμένες άγνωστες παραμέτρους. Ο σκοπός μίας συνόρθωσης είναι η εκτίμηση των τιμών των αγνώστων παραμέτρων αλλά και η εύρεση της ακρίβειας της εκτίμησης. Εδώ θα αναλύσουμε την συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων.

Παρασκευή, 26 Σεπτεμβρίου 2014

Η έννοια της ειδικής ενέργειας στους ανοικτούς αγωγούς

Η ειδική ενέργεια σε μία διατομή ενός ανοικτού αγωγού αποτελεί το άθροισμα του φορτίου πίεσης και του κινητικού φορτίου στην διατομή. Είναι δηλαδή το ολικό φορτίο στην διατομή με επίπεδο αναφοράς τον πυθμένα της. Λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω ο τύπος που δίνει την εδική ενέργεια είναι ο ακόλουθος

Τετάρτη, 24 Σεπτεμβρίου 2014

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με την μέθοδο των συναρτησιακών επαναλήψεων

Αρκετές φορές στην επίλυση φυσικών προβλημάτων προκύπτουν εξισώσεις που είναι μη γραμμικές και δεν επιλύονται με κάποια αναλυτική μέθοδο. Σε αυτές τις περιπτώσεις για την επίλυση τους καταφεύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους. Μία από αυτές τις μεθόδους είναι η μέθοδος των συναρτησιακών επαναλήψεων.

Τρίτη, 23 Σεπτεμβρίου 2014

Η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά

Η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά είναι αποτέλεσμα της αρχής διατήρησης της μάζας. Εδώ θα αναλύσουμε το πως προκύπτει η εξίσωση συνέχειας μόνιμης ροής για ασυμπίεστο ή συμπιεσμένο ρευστό και η γενική εξίσωση συνέχειας σε τρισδιάστατη ροή (μόνιμη ή μη μόνιμη) ενός ασυμπίεστου ή συμπιεσμένου ρευστού.

Οι λεπτοί φακοί στην γεωμετρική οπτική

Οι λεπτοί φακοί είναι διαδεδομένες οπτικές διατάξεις. Οι πιο απλοί λεπτοί φακοί αποτελούνται από δύο σφαιρικές διαθλαστικές επιφάνειες που είναι τόσο κοντά ώστε η απόσταση μεταξύ τους να θεωρείται αμελητέα.

Παρασκευή, 19 Σεπτεμβρίου 2014

Το στοιχείο της ευθυγραμμίας στις οδούς

Οι ευθυγραμμίες στις οδούς αποτελούν αναπόσπαστο στοιχείο καθώς αυτές επιτρέπουν την ανάπτυξη ταχύτητας από τα οχήματα. Αυτό το γεγονός κάνει τις οδούς πιο γρήγορες και έτσι μειώνεται το κόστος των μεταφορών. Ακόμη, δεν είναι δυνατό ένας δρόμος να αποτελείται μόνο από στροφές γιατί θα προκαλούσε κόπωση στους οδηγούς.

Εύρεση της κυματικής εξίσωσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Για την περιγραφή ενός κύματος χρειαζόμαστε έννοια της κυματοσυνάρτησης. Η κυματοσυνάρτηση είναι μία συνάρτηση που μας δίνει πληροφορία για την απόκλιση κάθε σημείου του μέσου από την θέση ισορροπίας του (στην περίπτωση μηχανικών κυμάτων) ή για τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου (στην περίπτωση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων) συναρτήσει του χώρου και του χρόνου. Η κυματοσυνάρτηση είναι λύση μίας διαφορικής εξίσωσης που ονομάζεται κυματική εξίσωση και είναι η ακόλουθη
όπου u η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και y η κυματοσυνάρτηση η οποία μεταδίδεται κατά μήκος του άξονα x την χρονική στιγμή t.

Τρίτη, 16 Σεπτεμβρίου 2014

Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα και εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι μία γενικευμένη αρχή της φυσικής. Την συναντάμε σε πολλούς κλάδους της και μας δίνει λύσεις σε σύνθετα προβλήματα απλώς υποθέτοντας ότι η ενέργεια του συστήματος είναι σταθερή. Η χρήση αυτής της αρχής εφαρμόζεται και στην θερμοδυναμική και αποτελεί το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα.

Δευτέρα, 15 Σεπτεμβρίου 2014

Στροφορμή και η αρχή διατήρησης της

Η στροφορμή είναι το αντίστοιχο μέγεθος της ορμής στην περιστροφική κίνηση. Ουσιαστικά δείχνει την "φόρα" που έχει ένα σώμα που περιστρέφεται. Αν ένα σώμα έχει διάνυσμα θέσης r ως προς ένα σημείο Ο τότε το διάνυσμα της στροφορμής δίνεται από τον τύπο
όπου το διάνυσμα p είναι η ορμή του σώματος.

Σάββατο, 13 Σεπτεμβρίου 2014

Η πόλωση των κυμάτων και πολωτικά φίλτρα φωτός

Τα κύματα χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες, στα εγκάρσια κύματα και στα διαμήκη κύματα. Εγκάρσια είναι τα κύματα που οι ταλαντώσεις των σημείων του μέσου (ή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων) είναι κάθετες στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος (κύμα πάνω σε χορδή, θαλάσσιο κύμα, φως), ενώ διαμήκη είναι τα κύματα που οι ταλαντώσεις των σημείων του μέσου είναι παράλληλες στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος (ήχος).

Ορισμένα ολοκληρώματα και απόλυτη τιμή

Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει πολλές χρήσεις στα μαθηματικά. Μερικές από αυτές είναι ο υπολογισμός εμβαδού, όγκου ή μήκους, δηλαδή ποσοτήτων αναγκαίων για μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς. Έτσι αυτά έχουν μεγάλη χρησιμότητα και είναι απαραίτητος ο σωστός χειρισμός τους ώστε να πάρουμε ορθό αποτέλεσμα.

Παρασκευή, 12 Σεπτεμβρίου 2014

Φυγόκεντρες αντλίες

Οι αντλίες είναι μηχανήματα τα οποία χρησιμεύουν στην άντληση υγρών. Αυτές δίνουν τo απαραίτητο μανομετρικό στο δίκτυο (άρδευσης, ύδρευσης ή αποχέτευσης), ώστε να έχει την κατάλληλη πίεση στα σημεία που θέλουμε. Συνεπώς αποτελούν σημαντικό κομμάτι ενός δικτύου καθώς, ουσιαστικά, συμβάλουν στην ανάπτυξη πιέσεων σε αυτό.

Εφαρμογές του νόμου του Gauss

Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μία περιοχή του χώρου όπου όταν βρεθούν φορτισμένα σωματίδια δέχονται ηλεκτρικές δυνάμεις. Πηγή του ηλεκτρικού πεδίου είναι οι κατανομές ηλεκτρικών φορτίων. Συνεπώς υπάρχει μία σχέση μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και των ηλεκτρικών φορτίων. Η σχέση αυτή διατυπώνεται από τον νόμο του Gauss και τον νόμο του Coulomb. Και οι δύο νόμοι είναι εναλλακτικές μορφές της σχέσης μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου σε μία περιοχή του χώρου και του φορτίου που δημιουργεί αυτό το ηλεκτρικό πεδίο.

Πέμπτη, 11 Σεπτεμβρίου 2014

Διαφορικές εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσης τους

Διαφορική εξίσωση είναι μία εξίσωση που συνδέει μία συνάρτηση και τις παραγώγους της. Είναι διαφορετική από τις από τις αλγεβρικές εξισώσεις στο γεγονός ότι προσπαθούμε να προσδιορίσουμε μία άγνωστη συνάρτηση και όχι αριθμό. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα εργαλείο για τη δημιουργία μοντέλων φυσικών προβλημάτων, τα οποία απαιτούν την συσχέτιση του ρυθμού μεταβολής μίας συνάρτησης με την ίδια την συνάρτηση.

Τα θεμελιώδη προβλήματα της τοπογραφίας

Οι δύο εφαρμογές της τοπογραφίας είναι η αποτύπωση σημείων και η υλοποίηση σημείων. Η αποτύπωση σημείων συμπεριλαμβάνει την μέτρηση αποστάσεων και γωνιών στο πεδίο ώστε να μπορέσει να γίνει υπολογισμός των συντεταγμένων των σημείων και απόδοση του πεδίου σε τοπογραφικό διάγραμμα. Η υλοποίηση είναι η τοποθέτηση σημείων γνωστών συντεταγμένων μετρώντας γωνίες και αποστάσεις στο πεδίο. Φαίνεται, λοιπόν, πως ένας τοπογράφος μηχανικός πρέπει να συσχετίσει της μετρήσεις γωνιών και αποστάσεων με τον υπολογισμό συντεταγμένων. Αυτή η συσχέτιση γίνεται με την χρήση των θεμελιωδών προβλημάτων της τοπογραφίας.

Οι εξισώσεις που διέπουν το κινητικό-μοριακό μοντέλο για το ιδανικό αέριο

Το κινητικό-μοριακό μοντέλο είναι ένα απλό μοντέλο μοριακής θεωρίας που σχετίζει την καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου με τους νόμους του Νεύτωνα. Για να ισχύει αυτό το μοντέλο πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις:
  1. Το δοχείο, το οποίο έχει όγκο V, εμπεριέχει Ν αριθμό μορίων που το καθένα έχει μάζα m.
  2. Οι διαστάσεις των μορίων σε σχέση με το μέγεθος του δοχείου είναι μικρές, οπότε συμπεριφέρονται σαν υλικά σημεία.
  3. Τα μόρια βρίσκονται σε διαρκή κίνηση, η οποία υπακούει τους νόμους του Νεύτωνα, και οι κρούσεις τους με τα τοιχώματα του δοχείου είναι ελαστικές.
  4. Τα τοιχώματα του δοχείου ούτε παραμορφώνονται ούτε μετακινούνται.

Τετάρτη, 10 Σεπτεμβρίου 2014

Εξισώσεις κίνησης και ενέργειας στις αποσβενόμενες ταλαντώσεις

Συνήθως εξετάζουμε τις ταλαντώσεις χωρίς να λαμβάνουμε υπόψιν μας τον παράγοντα τριβές. Θεωρούμε πως σε ένα ταλαντωνόμενο σύστημα δεν υπάρχουν μη διατηρητικές δυνάμεις και ότι η ολική μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης παραμένει σταθερή. Η πραγματικότητα είναι διαφορετική όμως. Ένα ταλαντωνόμενο σύστημα πάντα χάνει μηχανική ενέργεια, λόγω των τριβών που ασκούνται σε αυτό με αποτέλεσμα να ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η ελάττωση αυτή ονομάζεται απόσβεση και η κίνηση του σώματος που ταλαντώνεται ονομάζεται αποσβενόμενη ταλάντωση.

Τρίτη, 9 Σεπτεμβρίου 2014

Η χρήση της κλωθοειδούς στην οδοποιία

Στην οδοποιία χρησιμοποιούνται διάφορα στοιχεία από τα οποία αποτελείται μία οδός. Αυτά χρησιμοποιούνται με τέτοιο τρόπο, ώστε να επιτυγχάνεται μία αρμονική και συνεχή χάραξη που να προσφέρει ασφαλή και με σταθερή ταχύτητα οδήγηση χωρίς ο οδηγός να αντιμετωπίζει ξαφνικές ασυνέχειες στην πορεία του. Αυτά τα στοιχεία είναι οι ευθυγραμμίες, τα κυκλικά τόξα και τα τόξα συναρμογής.

Περίθλαση Fraunhofer από μία σχισμή πεπερασμένου εύρους

Όταν φωτίσουμε μία σχισμή με πεπερασμένο εύρος και μεγάλο μήκος τότε η εικόνα που παρατηρείται όταν η διερχόμενη, από την σχισμή, δέσμη πέσει πάνω σε ένα πέτασμα είναι η εικόνα του σχήματος 1. Βλέπουμε ότι η εικόνα πάνω στο πέτασμα είναι ένα διαμόρφωμα που αποτελείται από λεπτές φωτεινές και σκοτεινές λωρίδες (κροσσούς). Η δέσμη του φωτός απλώνεται στην οριζόντια διεύθυνση. Το φαινόμενο αυτό λέγεται περίθλαση του φωτός, η οποία ουσιαστικά είναι η απόκλιση του φωτός από την ευθύγραμμη πορεία του όταν αυτό συναντήσει ένα εμπόδιο.

Δευτέρα, 8 Σεπτεμβρίου 2014

Ηλεκτρεγερτική δύναμη λόγω κίνησης

Έστω ότι έχουμε την διάταξη του σχήματος 1 που αποτελείται από έναν αγωγό σε σχήμα U και από μία ράβδο (η συνολική αντίσταση της διάταξης είναι R). Αυτή η διάταξη βρίσκεται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο του αγωγού και με φορά προς την οθόνη. Όταν μετακινούμε με σταθερή ταχύτητα την ράβδο, ρεύμα διαρρέει την παραπάνω διάταξή με την φορά που φαίνεται στο σχήμα 1. Πώς εξηγείται αυτό το φαινόμενο;

Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2014

Γραμμικά συστήματα

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων έχουν την εξής μορφή:


 όπου οι συντελεστές είναι οι όροι

Λίγα λόγια για την έννοια της εντροπίας

Οι φυσικές μεταβολές συμβαίνουν αυθόρμητα προς την κατεύθυνση αυξανόμενης αταξίας. Πχ αν ρίξουμε μία σταγόνα γάλα μέσα σε ένα φλιτζάνι τσάι τότε η σταγόνα αυθόρμητα θα διαλυθεί και η αταξία θα αυξηθεί καθώς τα μόρια του γάλακτος ενώ ήταν σε μία τάξη διαλύονται τυχαία μέσα στο τσάι. Αυτό αποτελεί μία μη αντιστρεπτή μεταβολή γιατί είναι απίθανο ξαφνικά η σταγόνα να ξανασχηματιστεί μέσα στο φλιτζάνι.

Κίνηση σώματος με σταθερή επιτάχυνση

Στην ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση η ταχύτητα ενός σώματος μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό με αποτέλεσμα τα διάγραμμα u-t να είναι μία  ευθεία γραμμή με κλίση την επιτάχυνση (βλέπε σχήμα 1). 

Σάββατο, 6 Σεπτεμβρίου 2014

Σφάλματα τύπου 1 και 2

Όταν πραγματοποιούμε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων υπάρχει η περίπτωση να οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα. Υπάρχουν δύο είδη πιθανών σφαλμάτων κατά την εφαρμογή ενός ελέγχου υποθέσεων: