Δευτέρα, 29 Δεκεμβρίου 2014

Ελάχιστα και μέγιστα παραβολών

Θα μελετήσουμε πότε μία παραβολή παρουσιάζει ένα ελάχιστο ή ένα μέγιστο και σε ποίο σημείο του πεδίου ορισμού της παρουσιάζεται αυτό. Παραβολή είναι μία συνάρτηση που έχει την μορφή
όπου a, b, c σταθερές και α≠0.

Σάββατο, 27 Δεκεμβρίου 2014

Φορτισμένο σωματίδιο ανάμεσα σε οπλισμούς πυκνωτή

Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και ηλεκτρικού φορτίου q, εισέρχεται με ταχύτητα μέτρου u0 σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης μέτρου Ε, κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται μεταξύ των οριζόντιων οπλισμών επίπεδου πυκνωτή, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι d και το μήκος του κάθε οπλισμού είναι L. Το φορτισμένο σωματίδιο εισέρχεται στο πεδίο από το σημείο Α και εξέρχεται από το σημείο Β. Να υπολογίσετε:

Τετάρτη, 24 Δεκεμβρίου 2014

Πόσο ταΐζει ο άγιος Βασίλης τους ταράνδους του;

Ο άγιος Βασίλης πρέπει να ταΐσει τους 8 ταράνδους του ώστε να μπορέσουν να κάνουν τον γύρο του κόσμου την νύχτα των Χριστουγέννων. Πόσα κιλά σανό πρέπει να φάει ο κάθε τάρανδος ώστε να μπορέσει να αντέξει αυτό το ταξίδι;

Τρίτη, 23 Δεκεμβρίου 2014

Στάσιμα κύματα και κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με στάσιμα κύματα και κανονικούς τρόπους ταλάντωσης χορδής. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έχουμε ένα σύρμα μήκους 4 m και πάνω σε αυτό σχηματίζεται ένα στάσιμο κύμα με συχνότητα f=4 Hz. Τα δύο άκρα του σύρματος είναι ακλόνητα και το κύμα σχηματίζει μόνο μία κοιλία. Ζητείται α) η ταχύτητα των κυμάτων u που συμβάλουν για την δημιουργία του στάσιμου κύματος και β) η νέα συχνότητα που πρέπει να ταλαντωθεί το σύρμα ώστε να δημιουργηθεί κοιλία σε απόσταση 1 m από το αριστερό άκρο του σύρματος.

Σάββατο, 20 Δεκεμβρίου 2014

Βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού

Θα παρουσιάσουμε ορισμένα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού τα οποία παίζουν σημαντικό ρόλο στην μελέτη συναρτήσεων. Αυτά γενικά είναι πολύ απλά και δύσκολα κάποιος υποψιάζεται το πόσο σπουδαία είναι για τον διαφορικό λογισμό.

Τετάρτη, 17 Δεκεμβρίου 2014

Υπολογιστική μέθοδος συμβολής θαλάσσιων κυμάτων

Με τον όρο συμβολή δύο κυμάτων (μηχανικών ή ηλεκτρομαγνητικών) εννοούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν δύο ή περισσότερα κύματα διαδίδονται στην ίδια περιοχή του χώρου την ίδια στιγμή. Θα εξετάσουμε την συμβολή θαλάσσιων κυμάτων που είναι μηχανικά κύματα και θα αναπτύξουμε έναν απλό αλγόριθμο που θα μας δώσει μία εικόνα της συμβολής.

Δευτέρα, 15 Δεκεμβρίου 2014

Υδραυλικά δίκτυα-Μέθοδος Hardy-Cross

Από τα πιο σημαντικά έργα υποδομών μίας χώρας είναι τα υδραυλικά δίκτυα. Έτσι ο υδραυλικός μηχανικός πρέπει να είναι προσεκτικός όταν υπολογίζει τις παροχές του δικτύου. Η μεθοδολογία επίλυσης ενός υδραυλικού δικτύου γίνεται την μέθοδο Hardy-Cross η οποία είναι μία επαναληπτική διαδικασία.

Σάββατο, 13 Δεκεμβρίου 2014

Ηλεκτρεγερτική δύναμη σε κυκλώματα

Από την εμπειρία μας ένα κύκλωμα πρέπει να έχει μία πηγή η οποία θα προκαλέσει την κυκλοφορία ρεύματος σε αυτό. Το ηλεκτρικό κύκλωμα είναι τελείως ανάλογο με ένα κλειστό υδραυλικό κύκλωμα. Για να μπορέσει να κινηθεί το νερό κυκλικά πρέπει να υπάρχει μία συσκευή (αντλία) η οποία θα του δίνει ενέργεια. Η πηγή, λοιπόν, παίζει τον ρόλο της αντλίας σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα.

Δευτέρα, 8 Δεκεμβρίου 2014

Σύγκριση απλού αλγόριθμου μεγιστοποίησης με γενετικό αλγόριθμο

Θα συγκρίνουμε έναν απλό αλγόριθμο μεγιστοποίησης με έναν γενετικό αλγόριθμο. Θα προσπαθήσουμε δηλαδή να λύσουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της συνάρτησης
στο εύρος τιμών x1E[-3,12] και x2E[4,6] με δύο τρόπους και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα αλλά και την ταχύτητα που προκύπτουν αυτά τα αποτελέσματα.

Κυριακή, 7 Δεκεμβρίου 2014

Μέση και στιγμιαία ταχύτητα

Στην καθημερινότητα μας χρησιμοποιούμε τον όρο ταχύτητα για να περιγράψουμε πόσο γρήγορα κινείται ένα αντικείμενο. Για παράδειγμα λέμε ότι η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι 100 km/h. Αυτή η ταχύτητα αναφέρεται σε ένα χρονικό διάστημα ή σε μία στιγμή; Δηλαδή είναι μέση ή στιγμιαία ταχύτητα;

Σάββατο, 6 Δεκεμβρίου 2014

Γήινο πεδίο βαρύτητας και η σχέση του με το ορθομετρικό υψόμετρο

Όταν αφήσουμε ένα αντικείμενο ελεύθερο τότε αυτό πέφτει. Αυτή η πρόταση είναι κάτι αυτονόητο και πολύ λογικό. Που οφείλεται όμως η ελεύθερη πτώση ενός σώματος και ποια δύναμη την προκαλεί; Και επίσης που είναι η σχέση αυτής της δύναμης με το υψόμετρο του σώματος; Αυτά τα ερωτήματα θα εξετάσουμε παρακάτω.

Τρίτη, 2 Δεκεμβρίου 2014

Κλίση, απόκλιση και περιστροφή

Πολλές φορές στα μαθηματικά χρησιμοποιείται ο τελεστής ανάδελτα. Αυτός ο τελεστής δρα πάνω σε βαθμωτές ή διανυσματικές συναρτήσεις και το αποτέλεσμα αυτής της δράσης μας δίνει πληροφορίες για ορισμένα χαρακτηριστικά τους. Οι βασικές ποσότητες που ορίζονται με την βοήθεια του ανάδελτα είναι η κλίση για βαθμωτές συναρτήσεις και η απόκλιση και περιστροφή για διανυσματικές συναρτήσεις.

Παρασκευή, 28 Νοεμβρίου 2014

Εφαρμογές στην διάδοση θερμότητας

Θα ασχοληθούμε με δύο εφαρμογές. Η πρώτη είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα δοχείο με μονωμένα τοιχώματα που περιέχει μείγμα 2 kg νερού και 0.1 kg πάγου σε θερμοκρασία 273 K. Διοχετεύουμε στο δοχείο ατμό θερμοκρασίας 373 K. Πόσα γραμμάρια ατμού πρέπει να υγροποιηθούν ώστε το μείγμα νερού πάγου να φτάσει σε θερμοκρασία 300 Κ;

Τετάρτη, 26 Νοεμβρίου 2014

Κλίση τριβής

Η κλίση τριβής είναι ένας συντελεστής που εισέρχεται στις εξισώσεις ροής ενός ανοικτού αγωγού και ουσιαστικά παριστάνει την δύναμη που δέχεται το ρευστό από τα τοιχώματα του αγωγού. Επίσης, ο συντελεστής αυτός αποτελεί την κλίση της γραμμής ολικού φορτίου του ρευστού, δηλαδή εκφράζει τις απώλειες ενέργειας ανά μονάδα μήκους του αγωγού. Μπορούμε να τον συνδέσουμε με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αγωγού και την τραχύτητα του μέσω των εξισώσεων του Chezy και του Manning.

Σάββατο, 22 Νοεμβρίου 2014

Τροχιά βλήματος

Συνήθως κατά την μελέτη κίνησης βλημάτων θεωρούμε πως η αντίσταση του αέρα είναι πολύ μικρή και δεν την λαμβάνουμε υπόψιν μας. Στην πραγματικότητα όμως μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι μία σημαντική επίδραση και σε ορισμένες περιπτώσεις πρέπει να την λάβουμε υπόψιν μας στις εξισώσεις κίνησης ενός βλήματος. Καθώς όμως η εξίσωση τροχιάς στην οποία μπορούμε να καταλήξουμε μπορεί να είναι περίπλοκη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο για να βρούμε τις συντεταγμένες της τροχιάς.

Παρασκευή, 21 Νοεμβρίου 2014

Εκτροπή του φωτός από φράγμα περίθλασης

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με την εκτροπή του φωτός από φράγμα περίθλασης. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έστω ότι έχουμε ένα φράγμα περίθλασης που έχει 500 γραμμές ανά mm α) Να υπολογισθεί το γωνιακό εύρος του φάσματος πρώτης τάξης που παράγεται όταν λευκό φως προσπίπτει στο φράγμα. β) Να αποδειχθεί πως το ιώδες άκρο του φάσματος τρίτης τάξης επικαλύπτεται από το ερυθρό άκρο του φάσματος δεύτερης τάξης. Θεωρούμε ότι τα όρια των μηκών κύματος του λευκού φωτός είναι 400 nm (ιώδες) και 700 nm (ερυθρό).

Τρίτη, 18 Νοεμβρίου 2014

Χρήση γενετικού αλγόριθμου για την εύρεση του μεγίστου μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών

Όπως αναφέραμε και στην ανάρτηση "Γενετικοί αλγόριθμοι" οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι διαδικασίες που βασίζονται στην θεωρία της εξέλιξης για να μπορέσουν να μεγιστοποιήσουν μία συνάρτηση. Παρακάτω θα δούμε έναν τέτοιο αλγόριθμο και τον κώδικα ο οποίος τον υλοποιεί.

Κυριακή, 16 Νοεμβρίου 2014

Γενετικοί αλγόριθμοι

Οι γενετικοί αλγόριθμοι είναι παράδειγμα συστήματος επίλυσης προβλημάτων που βασίζεται στις αρχές της φυσικής εξέλιξης. Τα συστήματα αυτά λειτουργούν διατηρώντας ένα πληθυσμό δυνατών λύσεων του προβλήματος και εφαρμόζοντας πάνω σε αυτόν διάφορες διαδικασίες εμπνευσμένες από την φυσική εξέλιξη. Έτσι μέσω αυτών των διαδικασιών δημιουργούνται νέοι πληθυσμοί καλύτερων λύσεων που προσεγγίζουν την τελική λύση του προβλήματος.

Συντονισμός κυκλώματος L-R-C σε σειρά

Θα εξετάσουμε την παρακάτω εφαρμογή. Έχουμε το κύκλωμα L-R-C σε σειρά του σχήματος 1. Η αντίσταση του κυκλώματος είναι 500 Ω, το πηνίο έχει αυτοεπαγωγή 1 Η, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα 3 μF και η πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος έχει πλάτος 100 V. Τα ζητούμενα είναι τα εξής: α) Ποια είναι η γωνιακή συχνότητα συντονισμού; β) Να σχεδιαστούν τα περιστρεφόμενα διανύσματα φάσης στην γωνιακή συχνότητα συντονισμού. γ) Ποιες είναι οι ενεργές τιμές των τάσεων ab, bc, cd, bd και ad στην γωνιακή συχνότητα συντονισμού;

Τετάρτη, 12 Νοεμβρίου 2014

Το υδραυλικό άλμα

Το υδραυλικό άλμα είναι ένα φαινόμενο που εμφανίζεται όταν η ροή σε έναν ανοικτό αγωγό μεταβαίνει από υπερκρίσιμη σε υποκρίσιμη. Σε αυτή την περίπτωση η στάθμη της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού αυξάνεται απότομα προς την κατεύθυνση της ροής. Θα αναλύσουμε τρεις περιπτώσεις υδραυλικού άλματος.

Δευτέρα, 10 Νοεμβρίου 2014

Χαρακτηριστικό πρόβλημα κλειστών αγωγών

Τα προβλήματα κλειστών αγωγών λύνονται με εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli μεταξύ γνωστών σημείων. Επίσης δεν πρέπει να ξεχάσουμε να λάβουμε υπόψιν μας τις γραμμικές και τοπικές απώλειες. Θα εξετάσουμε ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα κλειστών αγωγών.

Κυριακή, 9 Νοεμβρίου 2014

Ισχύς στην κυματική κίνηση

Ένα κύμα συνοδεύεται από μεταφορά ενέργειας από μία περιοχή του χώρου σε μία άλλη. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε από τα θαλάσσια τσουνάμι που όταν σπάσουν στην ακτή απελευθερώνουν τεράστια ποσά ενέργειας που μπορεί να αποβούν καταστροφικά. Θα μελετήσουμε τα εγκάρσια κύματα που διαδίδονται σε μία χορδή.

Παρασκευή, 31 Οκτωβρίου 2014

Αριθμητική ολοκλήρωση

Θα μελετήσουμε πως μπορούμε να κάνουμε αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ο βασικός σκοπός μας είναι, ουσιαστικά, να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα το οποίο δεν μπορεί να υπολογισθεί με αναλυτική μέθοδο. Παρακάτω θα αναλύσουμε την μέθοδο που θα ακολουθήσουμε και θα δούμε ένα παράδειγμα.

Ένα ζεύγος δυνάμεων ή δύο;

Έχουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο οποίο ασκείται διατμητική τάση. Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μπορεί στα διάφορα βιβλία φυσικής να παρασταθεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος και ο πιο συνηθισμένος τρόπος φαίνεται στο σχήμα 1 και ο λιγότερο συνηθισμένος φαίνεται στο σχήμα 2.

Τρίτη, 28 Οκτωβρίου 2014

Εφαρμογές της μηχανικής των ρευστών

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές της μηχανικής των ρευστών. Η πρώτη αφορά την άνωση και είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα κύβο με ακμή 0.4 m που αποτελείται από ξύλο. Αρχικά ο κύβος να ισορροπεί (σχήμα 1). Επίσης, στο σχήμα 1 φαίνεται η θέση του κέντρου βάρους του. Έπειτα, ο κύβος περιστρέφεται κατά 45 μοίρες γύρω από τον άξονα συμμετρίας του. Υπολογίστε την συνολική ροπή επαναφοράς του ως προς τον άξονα περιστροφής του.

Σάββατο, 25 Οκτωβρίου 2014

Υδραυλικό πλήγμα

Όταν διακοπεί ή ξεκινήσει απότομα η ροή ενός ρευστού, για παράδειγμα εξαιτίας του απότομου ξεκινήματος ή σταματήματος μιας αντλίας ή εξαιτίας του απότομου ανοίγματος ή κλεισίματος μιας βάνας, τότε εμφανίζονται φαινόμενα υδραυλικού πλήγματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται και πλήγμα κριού καθώς συνοδεύεται με την παραγωγή ενός χαρακτηριστικού ήχου που μοιάζει με το χτύπημα του κριού, ενός πολιορκητικού όπλου που χρησιμοποιούταν στην αρχαιότητα και στον μεσαίωνα.

Παρασκευή, 24 Οκτωβρίου 2014

Ηχητικά κύματα, πίεση των σημείων του μέσου και ένταση

Θα μελετήσουμε τα ηχητικά κύματα. Τα πιο απλά ηχητικά κύματα είναι αρμονικά που έχουν συγκεκριμένη συχνότητα, πλάτος και μήκος κύματος. Επίσης, αυτά τα κύματα είναι διαμήκη καθώς οι μετατοπίσεις των σημείων του μέσου είναι παράλληλες με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2014

Επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης

Θα μελετήσουμε την επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης. Οι εξισώσεις αυτές έχουν την μορφή
όπου P1, P2,..., Pν-1, Pv σταθεροί όροι. Υπάρχει μία συγκεκριμένη διαδικασία για την επίλυση αυτού του τύπου των διαφορικών εξισώσεων η οποία στηρίζεται στην μερική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης και στην λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης.

Σάββατο, 18 Οκτωβρίου 2014

Εφαρμογές πάνω στην κίνηση βλήματος

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με την κίνηση βλήματος. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έχουμε δύο σφαίρες (σχήμα 1). Η κόκκινη σφαίρα βάλλεται προς την πράσινη σφαίρα την στιγμή που η πράσινη σφαίρα αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Δείξτε πως οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν ανεξαρτήτως της αρχικής ταχύτητας u0 της κόκκινης σφαίρας. Η απόδειξη είναι η εξής:

Παρασκευή, 17 Οκτωβρίου 2014

Βαρυτική δυναμική ενέργεια και η αρχή διατήρησης της ενέργειας

Έστω ότι έχουμε ένα σώμα που το αφήνουμε να πέσει από ένα ορισμένο ύψος χωρίς αρχική ταχύτητα. Στο τέλος της πτώσης του το σώμα έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια καθώς έχει ορισμένη ταχύτητα. Αυτή η κινητική ενέργεια, όμως, δεν παράχθηκε από το πουθενά αλλά προήρθε από μία άλλη μορφή ενέργειας που σχετίζεται με το ύψους που είχε όταν άρχισε η πτώση του. Την ενέργεια που οφείλεται στο ύψος αυτό την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.

Δευτέρα, 13 Οκτωβρίου 2014

Κυβικές splines

Μία συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα I μπορεί να προσεγγιστεί από ένα σύνολο n πολυωνύμων. Τα πολυώνυμα αυτά ονομάζονται splines και οι πιο συνηθισμένες είναι οι κυβικές splines. Αυτές είναι πολυώνυμα συνεπώς είναι συνεχείς συναρτήσεις, με συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους.

Σάββατο, 11 Οκτωβρίου 2014

Ημιτονοειδές κύμα και εγκάρσια ταχύτητα των σωματιδίων του μέσου

Έχουμε ένα ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα που έχει πλάτος 0.1 m και μήκος κύματος 1.5 m. Αυτό διαδίδεται από τα αριστερά προς τα δεξιά με ταχύτητα 150 m/s. Το αριστερό άκρο της χορδής, πάνω στην οποία διαδίδεται το κύμα, την χρονική στιγμή t=0 s κινείται προς τα κάτω. Βρείτε α) την συχνότητα, την κυκλική συχνότητα και τον κυματαριθμό του κύματος β) την κυματοσυνάρτηση του κύματος γ) την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=0 m δ) την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=1.2 m ε) την μέγιστη (αλγεβρικά) εγκάρσια ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου της χορδής ζ) την εγκάρσια μετατόπιση και την εγκάρσια ταχύτητα του σωματιδίου με x=1.2 m όταν t=0.025 s.

Πέμπτη, 9 Οκτωβρίου 2014

Τουρμπομηχανές

Οι τουρμπομηχανές είναι μηχανικές διατάξεις οι οποίες είτε προσθέτουν ενέργεια σε ένα ρευστό είτε εξάγουν ενέργεια από αυτό. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στις αντλίες και στις τουρμπίνες (ή στρόβιλοι). Οι αντλίες προσθέτουν ενέργεια σε ένα υγρό ενώ οι τουρμπίνες εξάγουν ενέργεια από αυτό.

Τρίτη, 7 Οκτωβρίου 2014

Λεπτά υμένια και συμβολή

Συμβολή κυμάτων είναι η περίπτωση κατά την οποία έχουμε αλληλεπικάλυψη δύο ή περισσότερων κυμάτων στον χώρο. Θα μελετήσουμε το φαινόμενο συμβολής στην περίπτωση που έχουμε ανακλάσεις εξαιτίας της ύπαρξης ενός λεπτού υμενίου. Η βασική αρχή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η αρχή της γραμμικής επαλληλίας.

Δευτέρα, 6 Οκτωβρίου 2014

Οι βρόγχοι στον προγραμματισμό

Οι επαναληπτικές διαδικασίες (βρόγχοι) στον προγραμματισμό μας βοηθούν στην εκτέλεση τμημάτων του κώδικα περισσότερες από μια φορές. Οι διαδικασίες αυτές βασίζονται σε κάποια συνθήκη επανάληψης και στην περίπτωση που γνωρίζουμε τον ακριβή αριθμό επαναλήψεων ονομάζονται σταθερές ενώ όταν δεν τον γνωρίζουμε ονομάζονται μεταβλητές.

Σάββατο, 4 Οκτωβρίου 2014

Ρεύμα αγωγιμότητας και ρεύμα μετατόπισης

Ας δούμε την παρακάτω εφαρμογή. Στο σχήμα 1 ο πυκνωτής που απεικονίζεται έχει εμβαδόν οπλισμών Α=5 cm2 και η απόσταση μεταξύ των οπλισμών είναι d=4 mm. Ο χώρος ανάμεσα στους οπλισμούς του είναι κενός. Το ρεύμα αγωγιμότητας που φορτίζει τον πυκνωτή έχει τιμή ic=3 mA και στην αρχή του χρόνου το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι μηδέν. Ζητούνται τα παρακάτω: α) το φορτίο των οπλισμών Q, το ηλεκτρικό πεδίο Ε και η διαφορά δυναμικού V μεταξύ των οπλισμών την χρονική στιγμή 4 μs. β) τον ρυθμό μεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου στον χώρο μεταξύ των οπλισμών ως προς τον χρόνο. γ) το ρεύμα μετατόπισης id μεταξύ των οπλισμών.

Πρόγραμμα ταχυμετρίας

Ταχυμετρία είναι η διαδικασία οριζοντιογραφικής και υψομετρικής αποτύπωσης σημείων λεπτομερειών του εδάφους. Από αυτή την διαδικασία συλλέγονται δεδομένα από τα οποία, μετά από υπολογισμούς, θα προκύψουν οι συντεταγμένες των σημείων λεπτομερειών του εδάφους. Θα μελετήσουμε την δημιουργία ενός προγράμματος επεξεργασίας αυτών των δεδομένων.

Παρασκευή, 3 Οκτωβρίου 2014

Υπολογισμός της μεταβολής της εντροπίας σε ένα σύστημα

Έχουμε το εξής πρόβλημα: Φέρνουμε σε επαφή 1 kg νερού που έχει θερμοκρασία 330 Κ με 2 kg νερού που έχει θερμοκρασία 300 Κ. Αν η ειδική θερμοχωρητικότητα του νερού είναι c=4190 J/kg K πως μπορούμε να υπολογίστε την ολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος;

Πέμπτη, 2 Οκτωβρίου 2014

Θερμικές μηχανές

Θερμικές μηχανές είναι οι διατάξεις που μετατρέπουν μέρος της θερμικής ενέργειας, που προσφέρεται σε αυτές, σε μηχανική ενέργεια. Αυτό συμβαίνει καθώς στο εσωτερικό της μηχανικής υπάρχει ορισμένη ποσότητα ύλης η οποία δέχεται ή αποβάλλει θερμότητα, συμπιέζεται ή εκτονώνεται και μερικές φορές αλλάζει φάση. Αυτή η ποσότητα ύλης ονομάζεται ενεργό υλικό της μηχανής.

Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου 2014

Δυνάμεις από ρευστά σε στερεά σώματα

Πολλές φορές σε προβλήματα υδραυλικής θέλουμε να υπολογίσουμε την δύναμη που ασκείται, εξαιτίας της κίνησης ενός ρευστού, σε ένα στερεό σώμα. Για να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιούμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που αναφέρει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ίσος με την συνιστώσα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σώμα, δηλαδή

Δευτέρα, 29 Σεπτεμβρίου 2014

Αυλοί και κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Οι αυλοί είναι απλές διατάξεις που παράγουν ηχητικές συχνότητες εξαιτίας στάσιμων διαμήκων κυμάτων που δημιουργούνται στο εσωτερικό τους. Τα κύματα αυτά προκαλούν την ταλάντωση της στήλη του αέρα μέσα στον αυλό, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί με ορισμένους κανονικούς τρόπους. Κανονικό τρόπο ταλάντωσης ονομάζουμε την κίνηση στην οποία όλα τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται αρμονικά με την ίδια συχνότητα.

Κυριακή, 28 Σεπτεμβρίου 2014

Η συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων

Οι μέθοδοι συνόρθωσης παρατηρήσεων είναι μέθοδοι ανάλυσης δεδομένων. Αυτές βασίζονται στις παρατηρήσεις ορισμένων μεγεθών, που ονομάζονται παρατηρούμενες παράμετροι, και στο μαθηματικό μοντέλο της συνόρθωσης, δηλαδή στην συσχέτιση των παρατηρούμενων παραμέτρων με ορισμένες άγνωστες παραμέτρους. Ο σκοπός μίας συνόρθωσης είναι η εκτίμηση των τιμών των αγνώστων παραμέτρων αλλά και η εύρεση της ακρίβειας της εκτίμησης. Εδώ θα αναλύσουμε την συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων.

Παρασκευή, 26 Σεπτεμβρίου 2014

Η έννοια της ειδικής ενέργειας στους ανοικτούς αγωγούς

Η ειδική ενέργεια σε μία διατομή ενός ανοικτού αγωγού αποτελεί το άθροισμα του φορτίου πίεσης και του κινητικού φορτίου στην διατομή. Είναι δηλαδή το ολικό φορτίο στην διατομή με επίπεδο αναφοράς τον πυθμένα της. Λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω ο τύπος που δίνει την εδική ενέργεια είναι ο ακόλουθος

Τετάρτη, 24 Σεπτεμβρίου 2014

Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με την μέθοδο των συναρτησιακών επαναλήψεων

Αρκετές φορές στην επίλυση φυσικών προβλημάτων προκύπτουν εξισώσεις που είναι μη γραμμικές και δεν επιλύονται με κάποια αναλυτική μέθοδο. Σε αυτές τις περιπτώσεις για την επίλυση τους καταφεύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους. Μία από αυτές τις μεθόδους είναι η μέθοδος των συναρτησιακών επαναλήψεων.

Τρίτη, 23 Σεπτεμβρίου 2014

Η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά

Η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά είναι αποτέλεσμα της αρχής διατήρησης της μάζας. Εδώ θα αναλύσουμε το πως προκύπτει η εξίσωση συνέχειας μόνιμης ροής για ασυμπίεστο ή συμπιεσμένο ρευστό και η γενική εξίσωση συνέχειας σε τρισδιάστατη ροή (μόνιμη ή μη μόνιμη) ενός ασυμπίεστου ή συμπιεσμένου ρευστού.

Οι λεπτοί φακοί στην γεωμετρική οπτική

Οι λεπτοί φακοί είναι διαδεδομένες οπτικές διατάξεις. Οι πιο απλοί λεπτοί φακοί αποτελούνται από δύο σφαιρικές διαθλαστικές επιφάνειες που είναι τόσο κοντά ώστε η απόσταση μεταξύ τους να θεωρείται αμελητέα.

Παρασκευή, 19 Σεπτεμβρίου 2014

Το στοιχείο της ευθυγραμμίας στις οδούς

Οι ευθυγραμμίες στις οδούς αποτελούν αναπόσπαστο στοιχείο καθώς αυτές επιτρέπουν την ανάπτυξη ταχύτητας από τα οχήματα. Αυτό το γεγονός κάνει τις οδούς πιο γρήγορες και έτσι μειώνεται το κόστος των μεταφορών. Ακόμη, δεν είναι δυνατό ένας δρόμος να αποτελείται μόνο από στροφές γιατί θα προκαλούσε κόπωση στους οδηγούς.

Εύρεση της κυματικής εξίσωσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Για την περιγραφή ενός κύματος χρειαζόμαστε έννοια της κυματοσυνάρτησης. Η κυματοσυνάρτηση είναι μία συνάρτηση που μας δίνει πληροφορία για την απόκλιση κάθε σημείου του μέσου από την θέση ισορροπίας του (στην περίπτωση μηχανικών κυμάτων) ή για τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου (στην περίπτωση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων) συναρτήσει του χώρου και του χρόνου. Η κυματοσυνάρτηση είναι λύση μίας διαφορικής εξίσωσης που ονομάζεται κυματική εξίσωση και είναι η ακόλουθη
όπου u η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και y η κυματοσυνάρτηση η οποία μεταδίδεται κατά μήκος του άξονα x την χρονική στιγμή t.

Τρίτη, 16 Σεπτεμβρίου 2014

Το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα και εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι μία γενικευμένη αρχή της φυσικής. Την συναντάμε σε πολλούς κλάδους της και μας δίνει λύσεις σε σύνθετα προβλήματα απλώς υποθέτοντας ότι η ενέργεια του συστήματος είναι σταθερή. Η χρήση αυτής της αρχής εφαρμόζεται και στην θερμοδυναμική και αποτελεί το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα.

Δευτέρα, 15 Σεπτεμβρίου 2014

Στροφορμή και η αρχή διατήρησης της

Η στροφορμή είναι το αντίστοιχο μέγεθος της ορμής στην περιστροφική κίνηση. Ουσιαστικά δείχνει την "φόρα" που έχει ένα σώμα που περιστρέφεται. Αν ένα σώμα έχει διάνυσμα θέσης r ως προς ένα σημείο Ο τότε το διάνυσμα της στροφορμής δίνεται από τον τύπο
όπου το διάνυσμα p είναι η ορμή του σώματος.

Σάββατο, 13 Σεπτεμβρίου 2014

Η πόλωση των κυμάτων και πολωτικά φίλτρα φωτός

Τα κύματα χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες, στα εγκάρσια κύματα και στα διαμήκη κύματα. Εγκάρσια είναι τα κύματα που οι ταλαντώσεις των σημείων του μέσου (ή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων) είναι κάθετες στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος (κύμα πάνω σε χορδή, θαλάσσιο κύμα, φως), ενώ διαμήκη είναι τα κύματα που οι ταλαντώσεις των σημείων του μέσου είναι παράλληλες στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος (ήχος).

Ορισμένα ολοκληρώματα και απόλυτη τιμή

Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει πολλές χρήσεις στα μαθηματικά. Μερικές από αυτές είναι ο υπολογισμός εμβαδού, όγκου ή μήκους, δηλαδή ποσοτήτων αναγκαίων για μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς. Έτσι αυτά έχουν μεγάλη χρησιμότητα και είναι απαραίτητος ο σωστός χειρισμός τους ώστε να πάρουμε ορθό αποτέλεσμα.

Παρασκευή, 12 Σεπτεμβρίου 2014

Φυγόκεντρες αντλίες

Οι αντλίες είναι μηχανήματα τα οποία χρησιμεύουν στην άντληση υγρών. Αυτές δίνουν τo απαραίτητο μανομετρικό στο δίκτυο (άρδευσης, ύδρευσης ή αποχέτευσης), ώστε να έχει την κατάλληλη πίεση στα σημεία που θέλουμε. Συνεπώς αποτελούν σημαντικό κομμάτι ενός δικτύου καθώς, ουσιαστικά, συμβάλουν στην ανάπτυξη πιέσεων σε αυτό.

Εφαρμογές του νόμου του Gauss

Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μία περιοχή του χώρου όπου όταν βρεθούν φορτισμένα σωματίδια δέχονται ηλεκτρικές δυνάμεις. Πηγή του ηλεκτρικού πεδίου είναι οι κατανομές ηλεκτρικών φορτίων. Συνεπώς υπάρχει μία σχέση μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και των ηλεκτρικών φορτίων. Η σχέση αυτή διατυπώνεται από τον νόμο του Gauss και τον νόμο του Coulomb. Και οι δύο νόμοι είναι εναλλακτικές μορφές της σχέσης μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου σε μία περιοχή του χώρου και του φορτίου που δημιουργεί αυτό το ηλεκτρικό πεδίο.

Πέμπτη, 11 Σεπτεμβρίου 2014

Διαφορικές εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσης τους

Διαφορική εξίσωση είναι μία εξίσωση που συνδέει μία συνάρτηση και τις παραγώγους της. Είναι διαφορετική από τις από τις αλγεβρικές εξισώσεις στο γεγονός ότι προσπαθούμε να προσδιορίσουμε μία άγνωστη συνάρτηση και όχι αριθμό. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα εργαλείο για τη δημιουργία μοντέλων φυσικών προβλημάτων, τα οποία απαιτούν την συσχέτιση του ρυθμού μεταβολής μίας συνάρτησης με την ίδια την συνάρτηση.

Τα θεμελιώδη προβλήματα της τοπογραφίας

Οι δύο εφαρμογές της τοπογραφίας είναι η αποτύπωση σημείων και η υλοποίηση σημείων. Η αποτύπωση σημείων συμπεριλαμβάνει την μέτρηση αποστάσεων και γωνιών στο πεδίο ώστε να μπορέσει να γίνει υπολογισμός των συντεταγμένων των σημείων και απόδοση του πεδίου σε τοπογραφικό διάγραμμα. Η υλοποίηση είναι η τοποθέτηση σημείων γνωστών συντεταγμένων μετρώντας γωνίες και αποστάσεις στο πεδίο. Φαίνεται, λοιπόν, πως ένας τοπογράφος μηχανικός πρέπει να συσχετίσει της μετρήσεις γωνιών και αποστάσεων με τον υπολογισμό συντεταγμένων. Αυτή η συσχέτιση γίνεται με την χρήση των θεμελιωδών προβλημάτων της τοπογραφίας.

Οι εξισώσεις που διέπουν το κινητικό-μοριακό μοντέλο για το ιδανικό αέριο

Το κινητικό-μοριακό μοντέλο είναι ένα απλό μοντέλο μοριακής θεωρίας που σχετίζει την καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου με τους νόμους του Νεύτωνα. Για να ισχύει αυτό το μοντέλο πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις:
  1. Το δοχείο, το οποίο έχει όγκο V, εμπεριέχει Ν αριθμό μορίων που το καθένα έχει μάζα m.
  2. Οι διαστάσεις των μορίων σε σχέση με το μέγεθος του δοχείου είναι μικρές, οπότε συμπεριφέρονται σαν υλικά σημεία.
  3. Τα μόρια βρίσκονται σε διαρκή κίνηση, η οποία υπακούει τους νόμους του Νεύτωνα, και οι κρούσεις τους με τα τοιχώματα του δοχείου είναι ελαστικές.
  4. Τα τοιχώματα του δοχείου ούτε παραμορφώνονται ούτε μετακινούνται.

Τετάρτη, 10 Σεπτεμβρίου 2014

Εξισώσεις κίνησης και ενέργειας στις αποσβενόμενες ταλαντώσεις

Συνήθως εξετάζουμε τις ταλαντώσεις χωρίς να λαμβάνουμε υπόψιν μας τον παράγοντα τριβές. Θεωρούμε πως σε ένα ταλαντωνόμενο σύστημα δεν υπάρχουν μη διατηρητικές δυνάμεις και ότι η ολική μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης παραμένει σταθερή. Η πραγματικότητα είναι διαφορετική όμως. Ένα ταλαντωνόμενο σύστημα πάντα χάνει μηχανική ενέργεια, λόγω των τριβών που ασκούνται σε αυτό με αποτέλεσμα να ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η ελάττωση αυτή ονομάζεται απόσβεση και η κίνηση του σώματος που ταλαντώνεται ονομάζεται αποσβενόμενη ταλάντωση.

Τρίτη, 9 Σεπτεμβρίου 2014

Η χρήση της κλωθοειδούς στην οδοποιία

Στην οδοποιία χρησιμοποιούνται διάφορα στοιχεία από τα οποία αποτελείται μία οδός. Αυτά χρησιμοποιούνται με τέτοιο τρόπο, ώστε να επιτυγχάνεται μία αρμονική και συνεχή χάραξη που να προσφέρει ασφαλή και με σταθερή ταχύτητα οδήγηση χωρίς ο οδηγός να αντιμετωπίζει ξαφνικές ασυνέχειες στην πορεία του. Αυτά τα στοιχεία είναι οι ευθυγραμμίες, τα κυκλικά τόξα και τα τόξα συναρμογής.

Περίθλαση Fraunhofer από μία σχισμή πεπερασμένου εύρους

Όταν φωτίσουμε μία σχισμή με πεπερασμένο εύρος και μεγάλο μήκος τότε η εικόνα που παρατηρείται όταν η διερχόμενη, από την σχισμή, δέσμη πέσει πάνω σε ένα πέτασμα είναι η εικόνα του σχήματος 1. Βλέπουμε ότι η εικόνα πάνω στο πέτασμα είναι ένα διαμόρφωμα που αποτελείται από λεπτές φωτεινές και σκοτεινές λωρίδες (κροσσούς). Η δέσμη του φωτός απλώνεται στην οριζόντια διεύθυνση. Το φαινόμενο αυτό λέγεται περίθλαση του φωτός, η οποία ουσιαστικά είναι η απόκλιση του φωτός από την ευθύγραμμη πορεία του όταν αυτό συναντήσει ένα εμπόδιο.

Δευτέρα, 8 Σεπτεμβρίου 2014

Ηλεκτρεγερτική δύναμη λόγω κίνησης

Έστω ότι έχουμε την διάταξη του σχήματος 1 που αποτελείται από έναν αγωγό σε σχήμα U και από μία ράβδο (η συνολική αντίσταση της διάταξης είναι R). Αυτή η διάταξη βρίσκεται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο του αγωγού και με φορά προς την οθόνη. Όταν μετακινούμε με σταθερή ταχύτητα την ράβδο, ρεύμα διαρρέει την παραπάνω διάταξή με την φορά που φαίνεται στο σχήμα 1. Πώς εξηγείται αυτό το φαινόμενο;

Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2014

Γραμμικά συστήματα

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων έχουν την εξής μορφή:


 όπου οι συντελεστές είναι οι όροι

Λίγα λόγια για την έννοια της εντροπίας

Οι φυσικές μεταβολές συμβαίνουν αυθόρμητα προς την κατεύθυνση αυξανόμενης αταξίας. Πχ αν ρίξουμε μία σταγόνα γάλα μέσα σε ένα φλιτζάνι τσάι τότε η σταγόνα αυθόρμητα θα διαλυθεί και η αταξία θα αυξηθεί καθώς τα μόρια του γάλακτος ενώ ήταν σε μία τάξη διαλύονται τυχαία μέσα στο τσάι. Αυτό αποτελεί μία μη αντιστρεπτή μεταβολή γιατί είναι απίθανο ξαφνικά η σταγόνα να ξανασχηματιστεί μέσα στο φλιτζάνι.

Κίνηση σώματος με σταθερή επιτάχυνση

Στην ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση η ταχύτητα ενός σώματος μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό με αποτέλεσμα τα διάγραμμα u-t να είναι μία  ευθεία γραμμή με κλίση την επιτάχυνση (βλέπε σχήμα 1). 

Σάββατο, 6 Σεπτεμβρίου 2014

Σφάλματα τύπου 1 και 2

Όταν πραγματοποιούμε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων υπάρχει η περίπτωση να οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα. Υπάρχουν δύο είδη πιθανών σφαλμάτων κατά την εφαρμογή ενός ελέγχου υποθέσεων: